已知f(x)=((x-1)/(x+1))^2(1)求f(x)的反函数f-1(x)(2)若不等式(1-√x)[f-1(x)]>a(a-√x)对一切x∈[1/4,1/2]恒成立,求a的取值范围真心求指导..
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 03:48:07
已知f(x)=((x-1)/(x+1))^2(1)求f(x)的反函数f-1(x)(2)若不等式(1-√x)[f-1(x)]>a(a-√x)对一切x∈[1/4,1/2]恒成立,求a的取值范围真心求指导..
已知f(x)=((x-1)/(x+1))^2
(1)求f(x)的反函数f-1(x)
(2)若不等式(1-√x)[f-1(x)]>a(a-√x)对一切x∈[1/4,1/2]恒成立,求a的取值范围
真心求指导..
已知f(x)=((x-1)/(x+1))^2(1)求f(x)的反函数f-1(x)(2)若不等式(1-√x)[f-1(x)]>a(a-√x)对一切x∈[1/4,1/2]恒成立,求a的取值范围真心求指导..
（1）y=((x-1)/(x+1))²
√y=(x-1)/(x+1).逆求法
√y（x+1）=x-1
x（√y-1）=-√y-1
x=（-√y-1）/（（√y-1）
故：f-1（x）=-（√x+1）/（√x-1） x≥0且x≠1
（2）把f-1（x）代入得：（1-√x）（（-√x-1）/（√x-1））＞a（a-√x）
√x+1＞a（a-√x）
整理得：（a+1）√x-a²+1＞0
（这时把它看成以√x为自变量的一条直线,在1/4和1/2处均大于0）
① 将x=1/4代入,整理得：2a²-a-3≦0 解得：-1＜a＜3/2
② 将x=1/2代入,整理得：2a²-√2a-（√2+1）≦0 解得：-√2/2＜a＜1+√2/2
取交集得：-√2/2＜a＜3/2
看不懂就再追问,
注意：为避免与函数的倒数产生误会，下面用 y 来表示函数f（x）的反函数。
第一个问题：
∵f（x）＝［（x－1）/（x＋1）］^2，
∴当（x－1）/（x＋1）≧0时，需要x－1≧0、且x＋1＞0；或x－1≦0、且x＋1＜0。
由x－1≧0、且x＋1＞0，得：x≧1。 由x－1≦0、且x＋1＜0，得：x＜－1。
于是：
一、...
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注意：为避免与函数的倒数产生误会，下面用 y 来表示函数f（x）的反函数。
第一个问题：
∵f（x）＝［（x－1）/（x＋1）］^2，
∴当（x－1）/（x＋1）≧0时，需要x－1≧0、且x＋1＞0；或x－1≦0、且x＋1＜0。
由x－1≧0、且x＋1＞0，得：x≧1。 由x－1≦0、且x＋1＜0，得：x＜－1。
于是：
一、当x∈（－∞，－1）∪［1，＋∞）时，有：√［f（x）］＝（x－1）/（x＋1）。
令上式中的f（x）＝x、x＝y，得：√x＝（y－1）/（y＋1），∴－√x＝（1－y）/（1＋y），
∴－√x/（1－√x）＝（1－y）/［（1＋y）＋（1－y）］＝（1－y）/2，
∴1－y＝－2√x/（1－√x），∴y＝1＋2√x/（1－√x）＝（1＋√x）/（1－√x）。
∴此时函数的反函数是：y＝（1＋√x）/（1－√x）。
二、当x∈（－1，1）时，有：√［f（x）］＝－（x－1）/（x＋1）。
令上式中的f（x）＝x、x＝y，得：√x＝－（y－1）/（y＋1）＝（1－y）/（1＋y），
∴√x/（1＋√x）＝（1－y）/［（1＋y）＋（1－y）］＝（1－y）/2，
∴1－y＝2√x/（1＋√x），∴y＝1－2√x/（1＋√x）＝（1－√x）/（1＋√x）。
∴此时函数的反函数是：y＝（1－√x）/（1＋√x）。
第二个问题：
∵对于x∈［1/4，1/2］，有（1－√x）y＞a（a－√x）恒成立，
∴（1－√x）［（1＋√x）/（1－√x）］＞a（a－√x）恒成立，
∴1＋√x＞a^2－a√x恒成立，∴（1＋a）√x＞a^2－1恒成立。
一、当a＝－1时，（1＋a）√x＞a^2－1变成为0＞0，这显然是不合理的，应舍去。
二、当a＜－1时，（1＋a）√x＜0，∴需要a^2－1＜0，∴需要a^2＜1，∴需要－1＜a＜1。
显然，a＜－1与－1＜a＜1是矛盾的，∴这种情况应舍去。
三、当a＞－1时，（1＋a）√x＞0，∴需要a^2－1≦0，∴需要－1＜a≦1。
综上可知，满足条件的a的取值范围是（－1，1］。
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