设P大于0是一个常数,过点Q（2P,0）的直线与抛物线y∧2=2px交于相异两点A,B,以线段AB为直径做圆H1,证：抛物线的顶点在圆上
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/01 08:12:03
设P大于0是一个常数,过点Q（2P,0）的直线与抛物线y∧2=2px交于相异两点A,B,以线段AB为直径做圆H1,证：抛物线的顶点在圆上
设P大于0是一个常数,过点Q（2P,0）的直线与抛物线y∧2=2px交于相异两点A,B,以线段AB为直径做圆H
1,证：抛物线的顶点在圆上
设P大于0是一个常数,过点Q（2P,0）的直线与抛物线y∧2=2px交于相异两点A,B,以线段AB为直径做圆H1,证：抛物线的顶点在圆上
证明：若抛物线顶点（0,0）在圆上
我们就要证那么Koa×Kob=-1
也就是OA⊥OB
设点A和B的坐标分别为（x1,y1）（x2,y2）
y2/x2×y1/x1=-1
x1x2+y1y2=0
这是思路,下面是过程：
因此设过点Q的直线为y=k(x-2p)=kx-2pk
那么
(kx-2pk)²=2px
k²x²-4pk²x+4p²k²-2px=0
k²x²-(4pk²+2p)x+4p²k²=0
x1×x2=4p²
x1+x2=(4pk²+2p)/k²
y1×y2=(kx1-2pk)(kx2-2pk)=k²x1x2-2pk²(x1+x2)+4p²k²=4p²k²-2p(4pk²+2p)+4p²k²=8p²k²-8p²k²-4p²=-4p²
x1x2+y1y2=4p²-4p²=0
x1x2=-y1y2
y2/x2×y1/x1=-1
那么就是说OA垂直OB,角OAB为直角
命题得证.
（1）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1－y2|=4p.
显然，满足|OQ|= |AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.
如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tanα(x－2p),x= ,代入：y=tanα• －2ptanα.即
tanα•y2－2py－4p2tanα=0.此...
全部展开
（1）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1－y2|=4p.
显然，满足|OQ|= |AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.
如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tanα(x－2p),x= ,代入：y=tanα• －2ptanα.即
tanα•y2－2py－4p2tanα=0.此方程有不同二实根y1y2,∴y1+y2= ,y1y2=－4p2.
=x1x2+y1y2= .
∴ ,故点O仍在以AB为直径的圆上.
收起
设AB：y=k(x-2p) A(x1,y1) B(x2,y2)
联立方程组：y=k(x-2p)
y2=2px 得x1x2=4p2 y1y2=-4p2
向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=0
所以角AOB=90°
所以o（即抛物线的顶点）在圆上