在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8.BC=6.,P是△ABC内切圆M上的动点,求以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和的最小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 14:38:15
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8.BC=6.,P是△ABC内切圆M上的动点,求以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和的最小
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8.BC=6.,P是△ABC内切圆M上的动点,求以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和的最小
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8.BC=6.,P是△ABC内切圆M上的动点,求以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和的最小
AB=√(8²+6²)=10,设内切圆M的半径为r,
则：r=2S△ABC/△ABC周长=6×8/(10+8+6=24)=2 .
如图,圆M的方程为(x-2)²+(y-2)²=4,得y²-4y=-x²+4x-4.
点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),设点P的坐标为(x,y).
则PA²+PB²+PC²=[(x-8)²+y²]+[x²+(y-6)²]+(x²+y²)
=3x²-16x+3y²-12y+100
=3x²-16x+3（y²-4y)+100
=3x²-16x+3(-x²+4x-4)+100
=88-4x.
因0≤x≤4,故72≤PA²+PB²+PC²≤88 .
以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和S=(PA²+PB²+PC²)π/4；
则知18π≤S≤22π .
结论：三个圆的面积之和的最小值为18π .
用解析的办法求解
设C(-2,-2),B(4,-2),A(-2,6)
AC⊥BC 角C为直角
AC=8 BC=6 符合题意
所以M的圆心在原点O上，P的方程为 X^2+Y^2=4
求以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和的最小,
就是求s=π/4*PA^2+π/4*PB^2+π/4*PC^2最小
即求 s=π/4*[(x+2)^2+(y...
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用解析的办法求解
设C(-2,-2),B(4,-2),A(-2,6)
AC⊥BC 角C为直角
AC=8 BC=6 符合题意
所以M的圆心在原点O上，P的方程为 X^2+Y^2=4
求以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和的最小,
就是求s=π/4*PA^2+π/4*PB^2+π/4*PC^2最小
即求 s=π/4*[(x+2)^2+(y-6)^2+(x-4)^2+(y+2)^2+(x+2)^2+(y+2)^2]
=π/4*(3x^2+3y^2-4y+68)
=π*(20-y)
所以当Y=2时 s=18π
收起