证明题,请把过程写详尽点,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 13:23:47
证明题,请把过程写详尽点,
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证明一：
令f(t)=tlnt (t>0)
求导得：
f'(t)=lnt+1
再次求导得：
f''(t)=1/t>0
所以：f(t)是凹函数
所以：[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
所以：(xlnx+ylny)/2>(x+y)/2*ln[(x+y)/2]
所以：xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]
证明二：
xlnx+ylny-xln(x+y)-yln(x+y)-(x+y)ln(1/2)
=xln[x/(x+y)]+yln[y/(x+y)]-(x+y)ln(1/2)
=-xln(1+y/x)-yln(1+x/y)-(x+y)ln(1/2)
=-x[ln(1+y/x)+y/xln(1+z/y)-(1+y/x)ln2]
令y/x=t
即证：
ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2<0
由于x、y地位对等,所以设y>x,即t>1
构造f(t)=ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2
求导f'(t)=ln(1+t)-lnt-ln2=ln(1+1/t)-ln2<0
所以：f(t)是减函数,f(t)
所以：-x[ln(1+y/x)+y/xln(1+z/y)-(1+y/x)ln2]>0
即：xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]
能人太多了，网上解答有。
xlnx+ylny-xln(x+y)-yln(x+y)-(x+y)ln(1/2)
=xln[x/(x+y)]+yln[y/(x+y)]-(x+y)ln(1/2)
=-xln(1+y/x)-yln(1+x/y)-(x+y)ln(1/2)
=-x[ln(1+y/x)+y/xln(1+z/y)-(1+y/x)ln2]
令y/x=t
即证：
ln(1+t)+...
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xlnx+ylny-xln(x+y)-yln(x+y)-(x+y)ln(1/2)
=xln[x/(x+y)]+yln[y/(x+y)]-(x+y)ln(1/2)
=-xln(1+y/x)-yln(1+x/y)-(x+y)ln(1/2)
=-x[ln(1+y/x)+y/xln(1+z/y)-(1+y/x)ln2]
令y/x=t
即证：
ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2<0
由于x、y地位对等，所以设y>x，即t>1
构造f(t)=ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2
求导f'(t)=ln(1+t)-lnt-ln2=ln(1+1/t)-ln2<0
所以：f(t)是减函数，f(t)
所以：-x[ln(1+y/x)+y/xln(1+z/y)-(1+y/x)ln2]>0
即：xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]
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