线性代数对角化问题：A为正定阵,B为实对称阵,证明：一定存在可逆矩阵T使得A和B都可以通过T做合同变换成为对角阵.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/16 04:44:29

线性代数对角化问题：A为正定阵,B为实对称阵,证明：一定存在可逆矩阵T使得A和B都可以通过T做合同变换成为对角阵.线性代数对角化问题：A为正定阵,B为实对称阵,证明：一定存在可逆矩阵T使得A和B都可以

线性代数对角化问题：A为正定阵,B为实对称阵,证明：一定存在可逆矩阵T使得A和B都可以通过T做合同变换成为对角阵.
线性代数对角化问题：
A为正定阵,B为实对称阵,证明：一定存在可逆矩阵T使得A和B都可以通过T做合同变换成为对角阵.

线性代数对角化问题：A为正定阵,B为实对称阵,证明：一定存在可逆矩阵T使得A和B都可以通过T做合同变换成为对角阵.
（A'表示A的转置矩阵）
由于A是正定矩阵,A与E合同,故一定存在可逆矩阵C,使C'AC = E.因为C'BC是实对称矩阵,经正交变换可化为对角形,故一定存在正交矩阵D,使D'(C'BC)D为对角阵.
所以,设T = CD,则T可逆,T'AT = D'(C'AC)D = D'D = E,T'BT = D'(C'BC)D为对角阵.
得证.
注：(1)C'BC是实对称矩阵,因为(C'BC)' = C'B'C'' = C'BC.
(2)T可逆,因为|T| = |CD| = |C||D|不等于0.

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