线性代数问题,n阶矩阵A可对角化,a是它的一个特征值,xo是它对应的特征向量,证（aE-A)x=xo无解其中E为单位矩阵

线性代数问题,n阶矩阵A可对角化,a是它的一个特征值,xo是它对应的特征向量,证（aE-A)x=xo无解其中E为单位矩阵
线性代数问题,n阶矩阵A可对角化,a是它的一个特征值,xo是它对应的特征向量,证（aE-A)x=xo无解
其中E为单位矩阵

线性代数问题,n阶矩阵A可对角化,a是它的一个特征值,xo是它对应的特征向量,证（aE-A)x=xo无解其中E为单位矩阵
这主要是关于A“可对角化"这个性质的.如果你知道Jordan标准型,那么可以想象,如果
(aE-A)x=x_0
有解的话,那么A在化成Jordan型之后,涉及x_0的那部分不是对角化的,而是一个大一些的Jordan块.如果你还没有学Jordan型,有如下证法.
假设T^(-1)AT=D是n阶对角矩阵,那么D的特征值就一一对应于A的特征值,D的特征向量就是T^(-1)（左）乘A的特征向量,这可以直接看出来：Ax=ax推出D (T^(-1)x) = a (T^(-1)x).
因此u_0=T^(-1) x_0是D的特征向量,对应的特征值是a.假如
(aE-A)x=x_0的话,那么u=T^(-1)x满足
(aE-D)u=u_0.
但是对于对角矩阵D,这是不可能的.你可以直接把它写出来计算.过程是这样的（一直到这段的结尾.建议你不看,因为你自己可以算,看我的反而乱套）.对角矩阵的特征向量就是R^n中的坐标向量,也就是说,u_0的n个分量里,只有1个（比如说第k个）不是0,其余都是0.那么D在第k行第k列处的元素就是a,所以(aE-D)在第k行第k列处的元素是0,于是(aE-D)整个第k行、第k列都是0（它是对角矩阵）.那么对于任意u,(aE-D)u的第k个分量都是0,所以不能等于u_0.
对于楼上（还是应该叫楼下啊）,补充一下,你可以尝试A是非对角的一个Jordan块,比如A是2×2矩阵,只有右上角是1,其他都是0,a=0,x_0是列向量(1,0),它是A对应于a=0的特征向量.这时题述方程有解,并且任何列向量,只要第二个分量是-1,都是它的解.这时|aE-A|仍为0（参照你原先解答的第7行）.正如追问中所说,|aE-A|不为0,是有唯一解的条件,但现在的解不是唯一的.实际上,如果A不能对角化,对应于x_0的那块是个大的Jordan块的话,那么题述方程有解x,并且在x上面加上任意实数倍的x_0,都仍然是那个方程的解（这可以直接从x_0是特征值看出）,这是你在补充回答里面“有无数个解”的情形,在楼主的第二次追问中也给了个说法,不过那里他的那个x_0似乎不是A属于a的特征向量罢了.

因为a是A的一个特征值，x0是它对应的特征向量，知x0不等于0。
反证法。
对于(aE-A)x=xo,假设它有解。
则存在x,使得（aE-A)x=xo成立。
由于x0不等于0，故它是一个n元线性非齐次的方程组。
利用克拉默法则，由于方程组（aE-A)x=xo有解，
故IaE-AI必不等于0。
事实上，a是A的一个特征值，故IaE-AI=0。<...

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因为a是A的一个特征值，x0是它对应的特征向量，知x0不等于0。
反证法。
对于(aE-A)x=xo,假设它有解。
则存在x,使得（aE-A)x=xo成立。
由于x0不等于0，故它是一个n元线性非齐次的方程组。
利用克拉默法则，由于方程组（aE-A)x=xo有解，
故IaE-AI必不等于0。
事实上，a是A的一个特征值，故IaE-AI=0。
二者相互矛盾。
因此方程组(aE-A)x=xo无解。

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因为A可对角化, 所以存在可逆矩阵P满足P^-1AP=diag(a1,a2,...,an)
其中a1,...,an是A的特征值, P的列向量由对应的特征向量构成
不妨设xo位于P的第1列: P=(xo,x2,...,xn)
则 P^-1AP=diag(a,a2,...,an)
由于 E=P^-1P=P^-1(xo,x2,...,xn)=(P^-1xo,P^-1x2,...

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因为A可对角化, 所以存在可逆矩阵P满足P^-1AP=diag(a1,a2,...,an)
其中a1,...,an是A的特征值, P的列向量由对应的特征向量构成
不妨设xo位于P的第1列: P=(xo,x2,...,xn)
则 P^-1AP=diag(a,a2,...,an)
由于 E=P^-1P=P^-1(xo,x2,...,xn)=(P^-1xo,P^-1x2,...,P^-1xn)
所以 P^-1xo = (1,0,...,0)^T.

假设y0是(aE-A)x=xo的解
则 (aE-A)y0=xo
则 P^-1(aE-A)P P^-1y0=P^-1xo
所以 diag(0,a-a2,...,a-an)(P^-1y0)=(1,0,...,0)^T.
观察知左式第一行的元素必为0
所以得 0 = 1.
矛盾.
所以 (aE-A)x=xo 无解.

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设A的所有不同的特征根为 a=a1, a2,...,ar, 1<=r<=n.
因为A可以对角化，所以 任给向量x, 存在对应于a1,a2,...,ar 的特征向量x1,x2, ...,xr。 使得
x=x1+x2+...+xr
于是：
(aE-A)x=ax-Ax=ax1+ax2+...+axr-a1x1-a2x2-...-arxr=(a-a2)x2+...+(a-...

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设A的所有不同的特征根为 a=a1, a2,...,ar, 1<=r<=n.
因为A可以对角化，所以 任给向量x, 存在对应于a1,a2,...,ar 的特征向量x1,x2, ...,xr。 使得
x=x1+x2+...+xr
于是：
(aE-A)x=ax-Ax=ax1+ax2+...+axr-a1x1-a2x2-...-arxr=(a-a2)x2+...+(a-ar)xr
因为不同特征根对于的特征向量线性无关。
所以x0 作为对应于特征根a=a1的特征向量，不可能由其他特征根所对应的特征向量 的线性组合产生。
所以(aE-A)x不可能=x0

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