△ABC中AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,且AE=BC 求证∠B=2∠ECA △ABC是黄金三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 16:38:08
△ABC中AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,且AE=BC 求证∠B=2∠ECA △ABC是黄金三角形
△ABC中AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,且AE=BC 求证∠B=2∠ECA △ABC是黄金三角形
△ABC中AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,且AE=BC 求证∠B=2∠ECA △ABC是黄金三角形
证明：
∵E在AC的垂直平分线上
∴EA=EC
∴∠A=∠ACE
∵AE=BC
∴CB=CE
∴∠B=∠BEC
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠B=∠BEC=∠A+∠ACE=2∠ACE
设∠ACE=x
则∠A=x,∠B=∠ACB=2x
∵∠A+∠B+∠ACB=180°
∴x+2x+2x=180°
∴x=36°
即∠A=36°
∴△ABC是黄金三角形
∵DE是AC垂直平分线
∴AE=CE,∠A=∠ECA
又AE=BC
∴CE=BC
∴∠B=∠BEC
∠BEC=∠A+∠ECA=2∠ECA
∴∠B=2∠ECA
∵∠C=∠B=2∠ECA =2∠A
又∠A+∠B+∠C=∠A+2∠A+2∠A=5∠A=180°
∴∠A=36°，∠B=72°
又AB=AC
∴△ABC是黄金三角形
△AED全等于△CED因为：ed=ed，∠ade=∠cde，AC的垂直平分线交AC于点D（ad=cd），所以全等。（SAS）
所以∠ECA=∠A，ae=ce=bc。所以△CBE为等腰三角形，所以∠CEB=∠B，即求∠B=2∠A。
△CBE中∠CEB=∠B，所以∠ECB=∠A。又因为∠ECA=∠A。所以ce为∠ACB的角平分线。所以∠B=2∠ECA。故 求得：△ABC中∠B=∠C=7...
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△AED全等于△CED因为：ed=ed，∠ade=∠cde，AC的垂直平分线交AC于点D（ad=cd），所以全等。（SAS）
所以∠ECA=∠A，ae=ce=bc。所以△CBE为等腰三角形，所以∠CEB=∠B，即求∠B=2∠A。
△CBE中∠CEB=∠B，所以∠ECB=∠A。又因为∠ECA=∠A。所以ce为∠ACB的角平分线。所以∠B=2∠ECA。故 求得：△ABC中∠B=∠C=72°=2∠A。所以为黄金三角形《黄金三角形分为两种：
①是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；这种三角形既美观又标准。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(√5-1)/2.
②也是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：(√5-1)/2. 》
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遇到好题目，手就发痒！
过程：
这题其实很简单，加一条辅助线就行了；
连接CE；可得：
∵DE垂直平分AC
∴EA=EC
∵AE=BC
∴BB=CE
∵AB=AC，∠B=∠B
∴△CBE∽△ABC；
因此：∠BAC=∠BCE；
又因为△AEC中：
∠BAC=∠ECA...
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过程：
这题其实很简单，加一条辅助线就行了；
连接CE；可得：
∵DE垂直平分AC
∴EA=EC
∵AE=BC
∴BB=CE
∵AB=AC，∠B=∠B
∴△CBE∽△ABC；
因此：∠BAC=∠BCE；
又因为△AEC中：
∠BAC=∠ECA；
又因为：∠BCE+∠ECA=∠C；
而△ABC中；AB=AC；∠B=∠C；
所以：∠B=∠C=2∠BCE=2∠BAC；
所以：∠B=2∠BAC；
第二步：
又因为：△CBE∽△ABC；
所以边之间的关系就有了：
∴CB²=BE*CA
∴AE²=BE*AB
∴点E是线段AB的黄金分割点
但愿对你有帮助！！！
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