在矩形ABCDA中E是AD上一点,且BD平分∠EBC,P是对角线BD上任意一点,PF垂直于BE,PG垂直于AD,求证 PF+PG=AB
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 06:54:59
在矩形ABCDA中E是AD上一点,且BD平分∠EBC,P是对角线BD上任意一点,PF垂直于BE,PG垂直于AD,求证 PF+PG=AB
在矩形ABCDA中E是AD上一点,且BD平分∠EBC,P是对角线BD上任意一点,PF垂直于BE,PG垂直于AD,求证 PF+PG=AB
在矩形ABCDA中E是AD上一点,且BD平分∠EBC,P是对角线BD上任意一点,PF垂直于BE,PG垂直于AD,求证 PF+PG=AB
我来回答:证明:连接PE ,则ΔPED的面积:1/2DE•PG
ΔPBE的面积:1/2 BE•PF
ΔBED的面积:1/2ED•AB (DE为底,AB为高)
∵AD‖BC,∴∠DBC=∠EDB,∵∠EBD=∠DBC,∴∠EBD=∠EDB,
∴EB=ED,∵ΔEBD的面积=ΔPEB的面积+ΔPED的面积
∴1/2DE•PG+1/2BE•PF=1/2ED•AB
∴PG+PF=AB
因为,AB垂直于AD,PG垂直于AD
所以,AB平行于PG,所以PG/AB=PD/BD
因为,PF垂直于BE,PG垂直于AD
所以,角PFB=角PGD=90度
因为,BD平分角EBC
所以,角PBF=角DBC
又,角DBC=角PDG
所以,角PBF=角PDG
所以,三角形PBF相似于三角形PDG
所以,PB/PD=PF/PG,...
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因为,AB垂直于AD,PG垂直于AD
所以,AB平行于PG,所以PG/AB=PD/BD
因为,PF垂直于BE,PG垂直于AD
所以,角PFB=角PGD=90度
因为,BD平分角EBC
所以,角PBF=角DBC
又,角DBC=角PDG
所以,角PBF=角PDG
所以,三角形PBF相似于三角形PDG
所以,PB/PD=PF/PG,即PD/PB=PG/PF
所以,PD/BD=PG/(PG+PF)
所以,PG/AB=PG/(PG+PF)
即,AB=PG+PF
收起
反向延长GP交BC于H 然后 ∠FBP=∠HBP (BD平分∠EBC) BP=BP 所以 △BFP≌△BHP 所以 PF=PH PF+PG=PG+PH=AB