已知函数f（x）=根号（px+p）-Inx（p＞0）是增函数.（1）求实数p的取值范围.（2）设数列{an}=根号（2n+1主要是第2问上面的根号（px+p）应该成根号（px-p） （2）设数列{an}=根号（2n+1）除以n，其
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 01:08:47
已知函数f（x）=根号（px+p）-Inx（p＞0）是增函数.（1）求实数p的取值范围.（2）设数列{an}=根号（2n+1主要是第2问上面的根号（px+p）应该成根号（px-p） （2）设数列{an}=根号（2n+1）除以n，其
已知函数f（x）=根号（px+p）-Inx（p＞0）是增函数.（1）求实数p的取值范围.（2）设数列{an}=根号（2n+1
主要是第2问
上面的根号（px+p）应该成根号（px-p） （2）设数列{an}=根号（2n+1）除以n，其前n项和为Sn，求证Sn≥2In（n+1).
已知函数f（x）=根号（px+p）-Inx（p＞0）是增函数.（1）求实数p的取值范围.（2）设数列{an}=根号（2n+1主要是第2问上面的根号（px+p）应该成根号（px-p） （2）设数列{an}=根号（2n+1）除以n，其
第一问,即导函数在一到正无穷非负.整理得到px∧2-4x+4>0.讨论这个二次三项式的最值（按照对称轴）,可以得到p>=1
第二问,令x=1+1/n平方+2/n,p=1.代入f(x)得到根号（1/n平方+2/n）-ln 1/n平方+2/n+1=根号（1/n平方+2/n）-ln (1/n+1)∧2=根号（1/n平方+2/n）-2ln (1/n+1) 是增函数.
而又有f(1)=根号3-ln4>0,那么f(x)>0,根号（1/n平方+2/n）-2ln (1/n+1) >0.变形,得到根号（2n+1）/2n〉ln(n+1)/n
对上式从一到n求和,∑根号（2n+1）/2n〉ln(n+1)-lnn+lnn-.=ln (n+1)-ln1=ln(n+1)
也即是Sn〉2ln(n+1)
证毕.
(1) f（x)=（px-p)^(1/2)-Inx（p＞0） 要使函数在实数范围内有意义，有x>＝1
f'(x)=1/2*p*(px-p)^(1/2)-1/x
因为f（x）是增函数
f'(x)=1/2*p*(px-p)^(1/2)-1/x >0
f'(x)= p*x^2-4*x+4>0
判别式=16-16p<0 <...
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(1) f（x)=（px-p)^(1/2)-Inx（p＞0） 要使函数在实数范围内有意义，有x>＝1
f'(x)=1/2*p*(px-p)^(1/2)-1/x
因为f（x）是增函数
f'(x)=1/2*p*(px-p)^(1/2)-1/x >0
f'(x)= p*x^2-4*x+4>0
判别式=16-16p<0
p>1
(2)令数列{bn}=2In(n+1)-2In(n)
可见S(bn)=2In(n+1)-2In(1)=2In(n+1)
要证明Sn>=S(bn)
只需证明an>=bn
即 [n+1)^1/2]/n>=2ln[(n+1)/n]
设f1(x)=[x+1)^1/2]/x
f2(x)=2ln[(x+1)/x
则f1'(x)=-(x+1)/[2*(x^2)*(2x+1)^(1/2)]
f2'(x)=-1/[(x+1)*x]
[f1'(x)]/[f2'(x)]=(x+1)^2/{2*x*[(2*x+1)^(1/2)]}
[f1'(x)]/[f2'(x)]^2=(x+1)^4/[4*x^2*(2*x+1)]
=(x^4+4*x^3+6*x^2+4*x+1)/(8x^3+4*x^2)
(x^4+4*x^3+6*x^2+4*x+1)-(8x^3+4*x^2)=x^4+2*x^2+4*x+1-4*x^3=p
当x>1时，p>0（带入1、2、3可看出
因此 [f1'(x)]/[f2'(x)]>1 f1'(x)]
因此[f1(x)-f2(x)]是单调减函数
x=1时f1(x)-f2(x)=3^(1/2)-2*ln2>0.3
x趋于无穷大时，[f1(x)-f2(x)]趋于0
因为[f1(x)-f2(x)]是单调减函数,而x趋于无穷大时，[f1(x)-f2(x)]趋于0
因此[f1(x)-f2(x)]在大于等于1的范围内恒大于0
因此f1(x)>f2(x)
证明完成
收起