相对速度关系的推导过程

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 23:28:37
相对速度关系的推导过程相对速度关系的推导过程相对速度关系的推导过程VA=VE+VR的推导过程比较复杂.需要用到矢量的运算和求导.楼主不用花费时间在这个上面,理解好公式的意义,掌握公式的应用即可.若真想

相对速度关系的推导过程
相对速度关系的推导过程

相对速度关系的推导过程
VA=VE+VR的推导过程比较复杂.
需要用到矢量的运算和求导.
楼主不用花费时间在这个上面,理解好公式的意义,掌握公式的应用即可.
若真想知道它的推导过程.可以参考大学物理教材或者《理论力学》教材.
推荐一本参考资料.
理论力学 哈尔滨工业大学理论力学教研室编写 第7版 高等教育出版社.
参看第8章,运动的合成.

设惯性系K’(x’,y’,z’,t’)沿惯性系K(x,y,z,t)的x轴正向以速度U=(u,0,0)匀速运动,自惯性系K到惯性系K’的正交线性变换为A=(aij) (i,j=1,2,3,4),即
(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A ①
令R=(x,y,z),R’=(x’,y’,z’),A11=(aij) (i,j=1,2,3),A12=(ai4) (i=1,2...

全部展开

设惯性系K’(x’,y’,z’,t’)沿惯性系K(x,y,z,t)的x轴正向以速度U=(u,0,0)匀速运动,自惯性系K到惯性系K’的正交线性变换为A=(aij) (i,j=1,2,3,4),即
(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A ①
令R=(x,y,z),R’=(x’,y’,z’),A11=(aij) (i,j=1,2,3),A12=(ai4) (i=1,2,3),A21=(a4j) (j=1,2,3),A22=(a44), 则由K到K’的线性变换可改写为
R’=RA11+tA21,t’=RA12+ta44 ②
于是
dR’/dt’=((dR/dt)A11+A21)/((dR/dt)A12+a44)
令dR/dt=V,dR’/dt’=V’,则V、V’分别表示运动粒子在K与K’系中的速度,上式可改写为
V’=(VA11+A21)/(VA12+a44) ③
满足上述速度变换的初始条件有(1)洛仑兹变换与伽利略变换的公共条件:“V’=0,V=U”与“V=0,V’=–U”;(2)满足伽利略变换的极限条件:|V|→∞时,|V’|→∞。
将条件(2)代入,并令V/|V|=V0得
|V’|=|(V0A11+A21/|V|)/(V0A12+a44/|V|)|=|V0A11/V0A12|=∞ (|V|→∞)
上式成立,必有A12’=0=(0,0,0) [注1],于是③式变为
V’=VA11/a44+A21/a44 ④
再将条件(1)代入④式,得
UA11/a44+A21/a44=0,A21/a44=–U
由此得
A21=–UA11,A21 =–Ua44
由于U=(u,0,0),代入上式便得a12=a13=a42=a43=0,a41=–a11u, a44=a11,再由A12’=(0,0,0)得a14=a24=a34=0,代入④式,并令V=(vx,vy,vz),V’=(vx’,vy’,vz’),便得
(vx’,vy’,vz’)=(a11(vx–u)+a21vy +a31vz,a22vy +a32vz,a23vy +a33vz)/a11 ⑤
由于对于vx’=0的点,vx =u,代入便得a21=a31=0;对于vy =0的点,vy’ =0,代入便得a32=0;对于vz =0的点,vz’ =0,代入便得a23=0,于是有
a12=a13= a14= a21=a23=a24= a31=a32=a34=a42=a43=0,a41=–a11u,a44=a11
将上述条件代入①式得
(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A=(a11(x–ut),a22y,a33z,a11t) ⑥
又当t=0时,K与K’两惯性系重合,故当t=0时,有x’=x,y’=y,z’=z [注2] ,代入⑥式便得a11=a22=a33=1,这样就得到了伽利略变换为

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