设数列an的前n项和为Sn,b∈R,且满足ban-2^n=(b-1)Sn.（1）求证：当b=2时,an-n*2^(n-1)是等比数列.（2）求an的通项公式.(主要是要解决第二问）

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/18 04:37:49

设数列an的前n项和为Sn,b∈R,且满足ban-2^n=(b-1)Sn.（1）求证：当b=2时,an-n*2^(n-1)是等比数列.（2）求an的通项公式.(主要是要解决第二问）设数列an的前n项和

设数列an的前n项和为Sn,b∈R,且满足ban-2^n=(b-1)Sn.（1）求证：当b=2时,an-n*2^(n-1)是等比数列.（2）求an的通项公式.(主要是要解决第二问）
设数列an的前n项和为Sn,b∈R,且满足ban-2^n=(b-1)Sn.
（1）求证：当b=2时,an-n*2^(n-1)是等比数列.
（2）求an的通项公式.
(主要是要解决第二问）

设数列an的前n项和为Sn,b∈R,且满足ban-2^n=(b-1)Sn.（1）求证：当b=2时,an-n*2^(n-1)是等比数列.（2）求an的通项公式.(主要是要解决第二问）
1)当b=2时,2a(n)-2^n=S(n)
2a(n-1)-2^(n-1)=S(n-1)
两式相减,整理得 a(n) = 2 *a(n-1) + 2^(n-1)
两边减去n*2^(n-1),整理得 a(n)-n*2^(n-1) = 2*[a(n-1)-(n-1)*2^(n-2)]
所以是等比数列,首项为a(1)-1,公比为2
2) 由1)问可以知道 a(n)-n*2^(n-1) = 2*(n-1) *[a(1)-1]
那么a(n)=[n+a(1)-1]*2^(n-1)

a1=2
(b-1)Sn=ban - 2^n
(b-1)Sn-1=b(an-1) - 2^(n-1)
两式作差
an=b(an-1) + 2^(n-1)
两边同时除以2^n
得an/2^n=(b/2)*(an-1)/(2^n-1)+1/2
记cn=an/2^n
cn-1/(2-b)=(b/2)*[(cn-1)-1/2-b]
=[(b/2)^n-1]*(1-1/2-b)
an=2^n*[1/2-b+(b/2)^n-1*(1-b)/(2-b)]