RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n＜m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/01/12 04:14:34

RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n＜m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中

RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n＜m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.
RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n＜m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.

RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n＜m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.
OA=OB=m/2,OP=OQ=n
三角形AOP中,根据余弦定理
AP^2=OA^2+OP^2-2OA*OPcos∠AOP
同理三角形AOQ中
AQ^2=OA^2+OQ^2-2OA*OQcos∠AOQ
因为∠AOP+∠AOQ=180度
所以AP^2+AQ^2+PQ^2
=2*OA^2+2*OP^2+PQ^2
=2(m/2)^2 +2n^2 +(2n)^2
=(m^2)/2 +6n^2

由中线长公式，得
│AP│^2+│AQ│^2=2(│AO│^2+│PO│^2)=2((m/2)^2+n^2)=(m^2)/2+2n^2
│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2
=(m^2)/2+2n^2+(2n)^2
=6n^2+(m^2)/2
因为m,n都是定值
所以│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值
祝你学习天天向上，加油～

│AP│^2+│AQ│^2=2(│AO│^2+│PO│^2)=2((m/2)^2+n^2)=(m^2)/2+2n^2
│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2
=(m^2)/2+2n^2+(2n)^2
=6n^2+(m^2)/2
因为m,n都是定值
所以│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值