高中数学题 抛物线已知抛物线方程y^2=8x,点P(2,4),A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上3点.若直线PA与PB倾斜角互补,求线段AB中点轨迹方程.要过程,若直线PA与PB倾斜角互补说明什么?重点还是上面怎么解？
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 20:23:29
高中数学题 抛物线已知抛物线方程y^2=8x,点P(2,4),A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上3点.若直线PA与PB倾斜角互补,求线段AB中点轨迹方程.要过程,若直线PA与PB倾斜角互补说明什么?重点还是上面怎么解？
高中数学题 抛物线
已知抛物线方程y^2=8x,点P(2,4),A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上3点.若直线PA与PB倾斜角互补,求线段AB中点轨迹方程.
要过程,若直线PA与PB倾斜角互补说明什么?
重点还是上面怎么解？
高中数学题 抛物线已知抛物线方程y^2=8x,点P(2,4),A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上3点.若直线PA与PB倾斜角互补,求线段AB中点轨迹方程.要过程,若直线PA与PB倾斜角互补说明什么?重点还是上面怎么解？
互补说明两个倾斜角相加等于180°（两直线与x轴的成角）,也就是说两个倾斜锐角相等,所以两条直线的斜率的绝对值相等.
设中点为（x0,y0）,则y0=（y1+y2）/2,x0=(x1+x2)/2.
y1²=8x1,y2²=8x2；
所以x1=1/8y1²,x2=1/8y2²；
斜率绝对值相等,
即（y1-4）/（x1-2）=-（y2-4）/（x2-2）,
（y1-4）*（2-x2）=（y2-4）*（x1-2）,
2y1-x2y1-8+4x2=y2x1-2y2-4x1+8,
x用y代替：2y1-1/8y2²y1-8+1/2y2²=1/8y1²y2-2y2-1/2y1²+8,
整理：2（y1+y2）-1/8y1y2（y1+y2）+1/2（y1²+y2²）-16=0,
由于y1²+y2²=8（x1+x2）=16x0；
y1+y2=2y0；
2y1y2=（y1+y2）²-y1²-y2²,——2y1y2=4y0²-16x0——y1y2=2y0²-8x0.
所以代入原整理式子：4y0-1/4（2y0²-8x0）*2y0+1/2*16x0-16=0
即：y0三次方-4x0y0-8y0-16x0+32=0.
所以,所求为：y三次方-4xy-8y-16x+32=0.
根据A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的点，代入得到两个方程，
根据倾斜角互补，即得两直线斜率互为相反数，又得到关于x1,x2,y1,y2的关系式。
最后求出AB的中点，即（(x1+x2)/2 ,(y1+y2)/2 )所满足的关系式即可。
具体自己做做吧！
设 A(x1,y1),B(x2,y2)
则：y1^2=8x1,y2^2=8x2
y1^2-y2^2=8(x1-x2)
AB斜率=(y1-y2)/(x1-x2)=8/(y1+y2)=8/(-1*2)=-4
所以，AB方程为：y=-4(x-1)-1
即：4x+y-3=0
互补说明两条直线的斜率是一正一负，且绝对值相等
最终的方程应该是：16x+2y-65