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来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/07 19:40:39
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如图已知椭圆
x2a2
+
y2b2
=1(a>b>0)的离心率为
32
,且过点A(0,1).
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.求证:直线MN恒过定点P(0,-
35
).
考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
专题:综合题.
分析:(1)由题意知,e=ca=32,b=1,a2-c2=1,由此能求出椭圆C的标准方程.
(2)设直线l1的方程为y=kx+1,由方程组y=kx+1x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kx=0,利用题设条件推导出直线MP与直线NP的斜率相等,从而得到M,N,P三点共线,由此证明直线MN恒过定点P(0,-35).
(1)由题意知,e=ca=32,b=1,a2-c2=1,…(4分)
解得a=2,
所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.…(6分)
(2)设直线l1的方程为y=kx+1,
由方程组y=kx+1x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kx=0,…(8分)
解得x1=−8k4k2+1,x2=0,所以xM=−8k4k2+1,yM=1−4k24k2+1,…(10分)
同理可得xN=8kk2+4,yN=k2−4k2+4,…(12分)
kMP=1−4k24k2+1+35−8k4k2+1=−8k25+85−8k=k2−15k,
kNP=k2−4k2+4+358kk2+4=8k25−858k=k2−15k,…(14分)
所以M,N,P三点共线,故直线MN恒过定点P(0,-35).…(16分)
阿甘是个好人哈哈哈哈哈