已知数列{An}满足A1=1,An+1=Sn+(n+1),用An表示An+1,证明数列{An+1}是等比数列并求An和Sn的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 09:10:53
已知数列{An}满足A1=1,An+1=Sn+(n+1),用An表示An+1,证明数列{An+1}是等比数列并求An和Sn的值
已知数列{An}满足A1=1,An+1=Sn+(n+1),用An表示An+1,证明数列{An+1}是等比数列并求An和Sn的值
已知数列{An}满足A1=1,An+1=Sn+(n+1),用An表示An+1,证明数列{An+1}是等比数列并求An和Sn的值
（1）已知（an+1）=sn+ (n+1)
所以an=(sn-1)+n 两式作差得 (an+1)-an=an+1
即(an+1)=2an+1
(2)说明：应证明{(an)+1}是等比数列,证明如下：
由（1）结论得 (an+1)+1=2an+2=2[(an)+1]
即 [(an)+1]/[(an)+1]=2
所以{(an)+1}是以2为公比的等比数列
（3）由（2）得（an）+1=[(a1)+1]*2的n-1次方 即(an)=[(a1)+1]*2的n-1次方-1 =2的n次方-1
所以sn={2(1-2的n次方）/(1-2)}-n=2的(n+1)次方-2-n
回答
An+1=Sn+(n+1)
An=S(n-1)+n
相减：A(n+1)-An=Sn-S(n-1)+1=An+1 (An=Sn-Sn-1)
所以：A(n+1)=2An+1
A(n+1)+1=2(An+1)
所以{An+1}是等比数列，公比为2,首项为A1+1=2
An+1=2*2^(n-1)=2^n
An=2^n-1
n=1时，A1...
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An+1=Sn+(n+1)
An=S(n-1)+n
相减：A(n+1)-An=Sn-S(n-1)+1=An+1 (An=Sn-Sn-1)
所以：A(n+1)=2An+1
A(n+1)+1=2(An+1)
所以{An+1}是等比数列，公比为2,首项为A1+1=2
An+1=2*2^(n-1)=2^n
An=2^n-1
n=1时，A1=1也满足An
所以：An=2^n-1
A(n+1)=2^(n+1)-1
A(n+1)=Sn+(n+1)
Sn=A(n+1)-n-1=2^(n+1)-n-2
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a(n+1)=Sn+(n+1)
所以an=S(n-1)+n
相减
a(n+1)-an=Sn-S(n-1)+1
因为Sn-S(n-1)=an
所以a(n+1)-an=an+1
所以a(n+1)=2an+1
a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2an+2=2(an+1)
所以[a(n+1)+1]/(an+1)=2
...
全部展开
a(n+1)=Sn+(n+1)
所以an=S(n-1)+n
相减
a(n+1)-an=Sn-S(n-1)+1
因为Sn-S(n-1)=an
所以a(n+1)-an=an+1
所以a(n+1)=2an+1
a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2an+2=2(an+1)
所以[a(n+1)+1]/(an+1)=2
令b(n+1)=a(n+1)+1
则bn=an+1
所以b(n+1)/bn=2
所以bn是等比数列，公比是2
所以an+1是等比数列
bn=a1+1=2
所以bn=2*2^(n-1)=2^n
an=bn-1=2^n-1
Sn=(2^1+2^2+……+2^n)-1*n
=2^(n+1)-2-n
收起