一道实数分析证明 关于连续性已知f在任何实数上连续.证明 K = {x|f(x) = 0}是闭集
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/12 03:18:24
一道实数分析证明 关于连续性已知f在任何实数上连续.证明 K = {x|f(x) = 0}是闭集
一道实数分析证明 关于连续性
已知f在任何实数上连续.
证明 K = {x|f(x) = 0}是闭集
一道实数分析证明 关于连续性已知f在任何实数上连续.证明 K = {x|f(x) = 0}是闭集
连续函数满足 闭集的逆象集是闭集
其实连续函数的定义更本质的说是,满足任何值域里的开集的逆象集是开集的函数叫做连续函数.
而闭集的定义是 开集的补集
那么任给一个闭集A,设A的补集为B,则B为开集,从而 f^(-1)(A)= X-f^(-1)(B) 是开集 X是定义域.因此f^(-1)(B)是闭集
所以得到引理:一个函数是连续函数 当且仅当 值域里任何一个闭集的逆象集也是闭集.
注意 实数值函数.确切说,欧氏空间里,任何单点集当然是一种特殊的闭集.
{0}是闭集,所以它在连续函数下的逆象集,也就是K = {x|f(x) = 0} 当然也是闭集
这个题目貌似有点繁琐。
条件是f(x)在R上连续吧?
利用闭集的等价定义:若xn位于K,且lim xn=a,则a位于K。
任取位于K中的点列xn,且lim xn=a,则f(xn)=0,由于f(x)在a连续,于是
f(a)=f(lim xn)=lim f(xn)=0,即a位于K。证毕。非常清楚 感谢了!能否再请教下这道题http://zhidao.baidu.com/question/4112767...
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条件是f(x)在R上连续吧?
利用闭集的等价定义:若xn位于K,且lim xn=a,则a位于K。
任取位于K中的点列xn,且lim xn=a,则f(xn)=0,由于f(x)在a连续,于是
f(a)=f(lim xn)=lim f(xn)=0,即a位于K。证毕。
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