若某正整数有不少于4个正约数,并且该正整数最小的4个正约数的平方和恰等于这个正整数自己,求所有这样如题,求所有这样的正整数.急!y有分了，快回答！
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 02:46:10
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若某正整数有不少于4个正约数,并且该正整数最小的4个正约数的平方和恰等于这个正整数自己,求所有这样
如题,求所有这样的正整数.急!
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只有130是满足条件的正整数.
首先判断这个数是奇数还是偶数.假设它是奇数,那么它的所有约数都是奇数（这很好理解吧）,而四个奇数的平方和为偶数（奇数的平方是奇数,偶数的平方是偶数）,与假设矛盾,所以不成立.
那么这个数就一定是正偶数,他有两个最小的正约数1和2.接下来进入正题：
它的四个最小正约数的平方和等于本身（偶数）,已有两个正约数1和2,那么剩下两个约数必然是一奇一偶才能满足“平方和是偶数”.因此,我们分两种情况讨论：
约数为：1,2,偶数,奇数（即剩下两个约数中的偶数小于奇数）.
这种情况下,这个偶数只可能是4,因为任意一个比4大的偶数（6,8,……）,它都有一个比2要大的约数,而这个约数同时也是待求数的约数,它是比这个（比4大的）偶数要小的,而我们的前提是这个偶数是仅次于1和2的第三小的约数,与假设矛盾.
那么理论上第4个约数只要是比4大的（奇）质数就可以了.（它必须是质数,原理跟上面大同小异）设这个数为t.那么待求数可表示为1^2 + 2^2 + 4^2 + t^2 = 21 + t^2,它至少要满足是t的倍数,即（21 + t^2)/t是正整数,即21/t（后面的t这项已经是了,故略去）是正整数,t=7.那么1,2,4,7这四个约数是否满足条件呢?答案是否定的,它们的平方和等于70,不是4的倍数.
约数为：1,2,奇数,偶数（即奇数小于偶数）.
这种情况下,这个奇数可以有相当多的取值,但它必须是质数（原理见上,大同小异）,同时偶数不能是4或其他4的倍数（当它等于4时前面的奇数是3,通过简单计算可知1,2,3,4不满足条件；当它是4的倍数的时候它有小于它且大于2的偶数约数,这个约数是待求数的约数（比这个4的倍数小）,还是那个道理）,那么这个偶数为了取最小值,只能是这个奇数的2倍,很显然这个就是满足条件的最小的偶数了.设取的奇数是a,则偶数为2a,待求数为5a^2 + 5,他必须是奇数a的倍数,而(5a^2 + 5)/a = 5a + 5/a,只需5/a是正整数即可,那么a = 5是奇数,通过计算待求数为130满足条件.