中西古代数学的异同

中西古代数学的异同
中西古代数学的异同

中西古代数学的异同
中国古代数学的构造性、机械化的算法体系完全有别于以古希腊为代表的西方数学的逻辑风格和演绎体系.为什么会出现这两种不同风格的数学体系、数学思想?难道是民族智力差异所造成的?答案当然是否定的.数学文化史的研究表明,在人类文化发展过程中,每一种文化系统都有其特定的数学发展和构造模式,数学既是在某个文化系统中发生发展的必然产物,又是文化系统中一种文化的特定的表现形式,不同的文化传统会形成不同形式的数学与科学技术的结构形式.因此可以说,中西文化传统的差异造成了中西古代数学思想以及数学结构形式的差异.换句话说,文化传统往往规定了数学发展的必然取向.
一、从中西古代数学文化史的比较意义上分析,形成中西古代数学的两种倾向：逻辑演绎倾向和机械化算法倾向,其作用与构造差异主要是由文化系统赋予的文化层次及其价值取向的差异造成的,这两种倾向的对立统一就构成了数学自身内在的矛盾运动和发展动力.
数学文化史的研究表明,人类古代数学作为文化系统中一个操作运演的子系统,从一开始就具有双重功能（或称为双重特性）,即数量性的功能和神秘性的功能（注：王宪昌,《数学与人类文明》,延安大学出版社,1990年第58-70页.）.而不同民族文化中的数字或数学都在特定的文化氛围中有某些神秘性,而且不同民族文化中的数学神秘性发展的道路是各不相同的.
在古希腊文化的发展中,原始数学始终沿着神秘性和数量性的双重功能统一性继承的轨道向前发展.古希腊数学与神秘性的结合,使得他们从宗教、哲学的层次追求数学的绝对性以及解释世界的普遍性地位,这正是古希腊数学完全脱离实际问题,追求逻辑演绎的严谨性的文化背景.
古希腊人在从蒙昧走向文明的过程中,于公元前8世纪丢掉他们的象形文字而采用腓尼基的拼音字母时,就吸收了埃及与巴比伦的数学成果,这时的古希腊数学,实际上是古希腊原始数学神秘主义与埃及、巴比伦的数学的结合体,这种结合创造了数学体系、数学运演与数学方法的广泛的神秘解释作用.这种文化传统正是古希腊数学具有强烈的神秘作用以及后来具有宗教、哲学特征的根本原因.毕达哥拉斯学派就已将数学着上宗教色彩,其“万物皆数”和追求“数的和谐”观念把数学的这两种功能牢牢地结合在一起,并使之运演操作,共同发展.到了古希腊最有影响的大哲学家柏拉图的唯心主义哲学,把数学的神秘性及数量性意义演化为一种哲学意义的数学理性,直到亚里士多德认为“数就是宇宙万有之物质”（注：亚里士多德,《形而上学》,中译本,商务印书馆,1984年,1986a.）,古希腊借助于数学解释一切的文化传统使数学成为具有文化意义的理性基础.古希腊与西方的天文、医学、逻辑、音乐、美术、宗教、哲学中,数学都在发挥着理性的解释作用,并随着西方文化的发展而不断得以继承和强化.基督教神学逐渐吸收了古希腊用数学解释世界的文化传统,在托马斯·阿奎那(1225-1274)的努力下,把以数学为理性模式的自然科学以及由数学而产生的各观念都与神学结合起来,使得数学成为当时自然知识和神学相结合的这座大厦的基石（注：丹皮尔,《科学史》,商务印书馆,1975年第13页.）.文艺复兴时期对古希腊数学理性的归复使欧洲人知道了自然界是按照数学方式设计的,数学被认为是唯一的真理体系.“这个理论鼓舞了十六、十七甚至一些十八世纪的数学家的工作.寻找大自然的数学规律是一项虔诚的工作,是为了研究上帝的本性和做法以及上帝安排宇宙的方案”（注：M.克莱因,《古今数学思想》,中译本,上海科学技术出版社,1979年第252页.）.直到今天,西方著名科学哲学家波普尔还认为《几何原本》是一种对当时宇宙理论、物理理论给出“一切物理解释和论述的基本工具”（注：波普尔,《猜想与反驳》,上海译文出版社,1986年第123页.）.英国哲学家兼数学家罗素认为在西方文化中“数学是我们信仰永恒的与严格的真理的根源.”（注：罗素,《西方哲学史》（上）,商务印书馆,1983年第64页.）他进一步总结指出：“数学与神学的结合开始于毕达哥拉斯,它代表了希腊、中世纪的以至直迄康德为止的近代的宗教哲学的特征.”（注：罗素,《西方哲学史》（上）,商务印书馆,1983年第64页.）
因此,从数学文化史的意义上分析,发端于古希腊的西方数学不仅仅是一个数学意义的运演操作系统,更主要的是它作为一种文化系统中起主导作用的理性解释系统,或者称之为一种理性构造的规范模式.在西方文化中,西方数学解释宇宙的变化,引导理性的发展,参与物质世界的表述,任何学科的构建都必须按照文化理性的要求模仿和运用数学的模式.用数学解释一切是西方数学在与其适应的文化获取的价值观念.
在中国文化发展中,我国古代数学筹算操作的机械化运演形成的计算体系来源于作为原始数学的竹棍操作运演在历史进程中的演化.
中国古代是借助于竹棍为特定物进行数字、数学操作运演的民族.中国古代数学具有外算与内算的双重功能,即“算数万物”的算术性功能和神秘主义的解释性功能（注：俞晓群,“论中国古代数学的双重意义”,载《自然辩证法通讯》,1992年第4期.）.竹棍既是中国原始计数物又是某些神秘性的表示物.例如中国原始巫术中的蓍草就是运用竹棍或类似竹棍的排演操作来表现某种神秘性的.《周易》中的揲蓍之法就是一种有代表性的原始数学的操作运演,只不过它表现的是神秘性的解释形式.与古希腊以一种理性表现自己的解释力量,以脱离具体事例而表现自己的数量解释意义不同,中国原始数学从一开始就把自己的神秘性、数量性特征蕴含在由竹棍的排演形式之中,是一种由以神秘性为主要特征的竹棍占卜的《周易》竹棍排演体系,逐步演化为以数量性特征为主而形成的筹算的运演体系,依靠编造某类具体实际生产、生活中的例子来表现自己的数量运演作用.中国原始竹棍排演的这种转变,使筹算失去了神秘性的主体地位,从而也失去了可能作为宗教与哲学的思维性的研究方向,因而筹算不可能具备西方数学那种用数学理性解释一切的价值取向,而在中国文化的特定氛围中,筹算主要是作为纯数量意义的运演而成为适应这种文化意义的一种技艺,并发展成为一种计算运演发达的技术.从文化系统角度来看,筹算是一种用数量变化意义来解释实际问题的操作运演的应用子系统.筹算一般不直接参与理性的描述,可以说,在中国文化中,它长于对“形而下”的问题作分门别类的数量的解释,为解决问题而制定各种算法,并常常将“理”寓于“法”中,算理结合、寓理于算的特征赋予筹算解释“形而上”问题的文化功能.因此,数学的价值观念是通过发展技艺实用,而非理性思辨.刘徽在《九章》注的序中把筹算处于《周易》解释意义之下的技艺应用地位说得十分清楚：“昔者包牺氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之术以合六爻之变.”中国文化中,筹算的价值取向就是作为“六爻之变”意义基础上的应用技艺,并以快速、准确、简洁解决具体问题来发展自己的操作运演.
因此,中国古代数学不仅未形成以宗教、哲学的层次思辨自己的方法、结构形式,而是形成了专司具体数学问题的特征.中国古代数学在文化传统中的价值取向就是在筹算运演机械重复的条件下尽力构造简明的运演方法,准确迅速地解决实践提出的具体问题.
中国传统的价值观念以及筹算的技艺型价值取向,决定了中国古代数学的发展和构造模式,这种筹算数学的价值取向保证了中国古代数学机械化特色的发展方向,注重数学实际应用的层次不断发展,机械化的计算技术和水平不断提高.中国古人借助于算筹这一特殊工具,将各种实际问题分门别类,进行有效的布列和推演,在比率算法、“方程”术、开方术、割圆术、大衍求一术、天元术、四元术、垛积招差术等等方面都取得辉煌成果,在宋元时期数学达到高潮.元代以后发展的珠算制是筹算制的发展改革和继续,可以说,中国传统数学在数量关系上是以算筹制为主线贯穿一起,以提高机械化的计算技术来解决实际问题为目标的.同时,文化价值观的传统特点也造就了一批传播和发展作为技艺数学的群体,这是促进数学机械化发展的人才优势,尤其是在相对稳定的文化环境中,其传统价值观念发挥了重要作用.
从文化价值系统发展的阶段分析,我国的筹算体系和模式在宋元时期达到数学的高峰在很大程度上是算法机械化达到最高水平.贾宪三角和增乘开方法是对《九章》以来开方程序的重大提高和创造,秦九韶的正负开方术又把增乘开方法发展到十分完备的境地,其大衍求一术也是在历代对“上元积年”推算基础上将“物不知数”问题解法发展到最一般的机械化程序.李冶的天元术更是对列方程算法的重大改进和突破,同时也是几何代数化思想的完美体现.从天元术到四元术,是解一般高次方程向多元高次方程组发展的必然结果和要求.因此,我国在宋元时期算法机械化达到空前的高水平,是与传统数学文化价值观的要求相一致的,是我国筹算文化排列模式和变换技术长期积累后的自然发展,它是我国筹算体系下的数学计算以快速、准确、简洁解决一类具体问题而发展自己的操作运演的必然趋势和结果.
当然,中国古代数学并非没有理性研究和创造.中国古代数学的筹算体系和机械化特色,决定了它不可能形成如同欧几里德《几何原本》那样完整的演绎逻辑系统,而由于筹算本身的直觉启示、模型构造性特点以及特殊的运演排列的结构和形式,决定了中国古代数学是以解决实际问题为目的的抽象模型化方法、化归方法,概括出一般原理、原则用以解决一大类问题的归纳和演绎方法相结合的有机统一,决定了中算的“寓理于算”、算理结合的主要特色.由于中算的“寓理于算”常常是将“理”寓于“法”中,许多中算算法如更相减损术、变分术、盈不足术、割圆术、方程术、大衍求一术等等,算法步骤精细,一步一步推导十分明确,有“不证自明”的效用,而对几何问题同样是采取几何代数化的形数结合,“寓理于算”.开平方、开立方和解高次方程的方法,都由几何模型导出,从图验法到宋元算家的演段法,其本质相同,但更测重于阐明算法的合理性而不是阐明几何关系.
二、评判中国古代数学时不应当依据西方数学的评价模式和价值标准
由上文对中西古代数学文化史的比较意义上分析,中西古代数学的作用与构造差异主要是由文化系统赋予它的文化层次及其价值取向的差异造成的,可以说,西方数学著作的构造模式及其理性作用是不会在中国文化中出现的,因此,在古今数千年的数学发展中,形成不同时期、不同地域的中西数学的两种倾向：逻辑演绎倾向和机械化算法倾向都是历史文化中的必然.以古希腊欧几里德《几何原本》为代表的逻辑演绎倾向和以《九章算术》为代表的机械化算法倾向交互作用,“轮流执政”,共同以各自的构造模式、思维方式、运演规律及结构特征对世界数学的发展作出了贡献.
从数学文化史的角度来说,中国技艺应用型的操作运演系统蕴育了中国古代数学算法机械化的成功.中国数学以区别于西方数学的独特风格和特点,在中世纪世界数学史、文明史上,灿烂的古希腊数学衰落之后,曾一度占据了世界数学研究的重心,直到14世纪初.中国传统数学的辉煌成就标志着筹算体系下的机械化算法的巨大成功,而元中期珠算盘和珠算术的应用和发展是我国机械化算法体系的继续,它是对算筹计算工具的重大改进和发展,是对计算技术改革的历史必然.珠算的普及应用,大大提高了计算速度和效率,简化了机械化的操作程序和繁琐步骤,适应了农业、手工业、商业的发展对数学中大量繁杂计算的实际需要,因此,算盘和珠算术的出现和普遍应用及其发展,同样既是中国传统数学的独特创造的伟大发明,同时又是对世界科技和文明的重大贡献.
然而,在对待中国传统数学和西方数学对世界科技和文明所作出的贡献这个问题上,长期以来,人们使用的数学评判标准多数却是在西方数学中形成的西方中心论.这种中心论者认为当代数学的巨大成就是沿着自古希腊人以来所走过的唯一一条王者之路而发展来的.没有达到严格演绎的知识不能算为科学,只有西方数学与其他学科的关系是近代科学发展的关键性的必要条件.
西方中心论的评判标准的理论基础是西方数学哲学,自觉或不自觉地把西方数学的模式思维方式和价值标准,作为评价世界上不同国家和地区数学（包括中国的传统数学乃至东方数学）与科学的唯一标准.从数学文化史的研究表明,在对待中国古代数学与其他自然科学的基础上,这种判断和比较不是在对中国古代数学理性思辨的基础上形成的,忽略了中国竹棍式数学演化流变的文化特征与西方数学的文化差异,这种中西古代数学的简单化的直接比较,会把人们至少在两个问题上引入误区：
其一,运用西方数学价值观来评判中国古代数学,混淆了中西古代数学的文化层次差异和价值取向的差异,这就变相否定了中国古代文明创造筹算的过程及其结构形式的文化意义,从而否定了中国古代作为筹算体系下的算法机械化的数学及其成就.
从西方数学的模式来论断筹算在人类文明和近代科学发展中的作用,至少存在如下三个方面的理论困难：
首先,一些受西方中心论或其变种影响的学者,在不顾起码的编年史,及一种数学内容在不同文化传统下的不同表现形态而制造出各种中学西源说的神话,以试图将中国排除在世界数学发展主流之外的同时,认为只有达到严格演绎的知识才能算为科学,照此而言,今天的物理学和化学就算不得科学,这当然是不合理的.其实,就是具有西方数学价值观念的李约瑟博士,也对西方数学模式的价值观心有疑虑,在比较中西古代数学时,李约瑟明确表示：“科学史家现在已开始怀疑,希腊的科学和数学偏爱抽象、演绎和纯理论,而忽视具体、经验和应用,这是不是一种进步.”（注：李约瑟,《中国科学技术史》（第三卷）,科学出版社,1978年第93页.）
其次,认为西方数学在文化系统中的作用（文化层次及价值取向）是通向当代数学的唯一一条王者发展之路这一假设,并没有经过检验和证明,以此评判算筹的作用,是在没有充分认识到算筹和筹算的文化意义的前提下的一种轻率的以至于武断的结论,其实质是彻底否定算筹和算筹体系下的整个中国古代数学,这种简单意义上的比较研究方法当然缺乏人类学意义上的客观性和公允性.事实上,作为人类数学的发展道路之一,中国古代数学思想在数学的历史以及在现代的数学思想中具有不可忽略的重要地位.中国古代数学不仅同古希腊数学一样代表了不同文化传统的数学形式,而且也是人类数学的一种不可缺少的思想方法,是数学家遵循的重要数学思维形式.因为从根本上说,筹算是一种计算形式的数学,在计算性数学的意义上,计算和逻辑证明是人类数学的两大特征,尽管逻辑证明在西方数学中占主导地位,但从西方数学发展史上可以看出计算所扮演的角色及其发挥的重要作用.笛卡尔的解析几何学就是计算运用所获得的巨大成功,在数学史上具有里程碑式作用的微积分,也是对无穷小量计算的结果.至于现代计算数学、计算机数学的发展则更可以说明在数学发展史的作用了.因此,我们认为计算体系的数学以及由此而形成的数学思想方法对整个人类数学的发展产生了重大的影响.
再次,从数学文化的功能来分析,筹算运演与演绎证明追求的目标有明显的差异.筹算不用思辨自己的方法的绝对性以及宗教、哲学意义的解释性,筹算只关心对确定问题的解答,只追求在解决实践问题时的快速、准确、无误和简明,它把自身的特点和优势发挥到最大限度.认为只有西方数学与其他学科的关系是近代科学发展的关键性的必要条件,实际上是在没有思辨筹算文化意义的前提下,把中国筹算根本不存在的文化功能作为一种抑制近代科学发展的因素,由此必然会导出这样一个结论：中国古代文明创造的并不断发展的筹算基础上的算法机械化的数学,从一开始就是一种带有严重缺陷的体系,是天生的“畸形儿”,从而中国文明创造筹算的意义以及筹算对中国文明的作用都被淡化乃至变相否定了.
其二,以西方数学的理性功能评判筹算,把筹算在中国文化中的理性作用否定了.
数学文化史的研究表明：筹算是由竹棍运演的原始数学发展而来的,算筹的前身很可能是古代卜筮用的蓍草,后来改为竹制的小棍,称为策（注：刘钝,《大哉言数》,辽宁教育出版社,1995年第37页.）.中国文化对筹算的选择同古希腊文化对数学的选择是相同的,都是表现了文明进程中对原始数学的神秘性功能和数量性功能的一种崇拜性的文化心理,这是两种文化在选择神秘性作为解释形式时具有的内在一致性.但是,作为差异,古希腊的文化氛围使它们强化了对数学理性的一贯的连续的整体性信仰,并发展成为用数学理性解释一切的价值取向；而中国的文化氛围使其强化了由对原始数学竹棍排演形式本身的神秘性信仰（《周易》64卦的运演形式）向筹算位置模式的转化,并最终使筹算以内蕴性的方式表达数学理性,算理结合,寓理于算,不证自明的特性赋予筹算解释和说明“形而上”问题的文化功能.中国古人产生以方向、位置模式表示不同的数学意义这种十分独特的数学思想方法,发展到筹算通过筹式表达,可以起到形式化数学语言的作用,用于间接说明算法的合理性.同时由于筹算位置思维侧重于形象思维,中国位置化的筹算模式具有直觉思维启示的功效,更容易发挥其直观、形象、简洁、方便的优点,这本身又是与中国古算机械化讲求效率、注重结果、推崇算法的简洁、直接和统一和谐一致的.
从人类文明进展选择理性方式作为解释形式的意义上分析,一种古代文明选择数学的数字、几何图形的解释方式还是选择数字运演形式本身的解释方式,实际上并不存在优劣、高下之分,它只是表现了人类不同文明进程的差异而已.西方数学理性解释的形式,不仅否认了筹算作为导源于《易经》的数学运演操作意义,而且也否认了中国文明的在选择和运用这种理性解释系统时的文化创造意义,更为重要的是,否认了《周易》和筹算在中国古代文明中的意义就使中国文明成为一种缺乏理性背景的从一开始就注定是永远落后的一种人类文明.应当特别指出的是,如此评价两种古代文明中同类学科的意义,就会产生N.席文批评的那种结果,即世界科学史成了欧洲的成功史和非欧文明的失败史,即使非欧文明在历史上有过成就,但在科学近代化带来复兴之前,也只不过是暂时的并且带有内在缺陷的成就（注：N.席文,《为什么中国没有发生科学革命》,载《科学与哲学》,1984年第1期.）.
总之,中西古代数学在其民族文化中价值观念的差异,是我们数学史研究中应当十分注意的问题.在人类文化史中,人们可以发现每一种文化系统都有其特定的数学发展和构造模式,对人类古代数学的比较,应从不同文化系统的数学模式中,提炼出人类古代数学的共有规律,并以此为价值尺度来客观、公正地评价.中国古代数学是在中国文化中产生发展的,它不会也不可能按照西方数学的模式来发展,因此我们评判中国古代数学时就不应当照搬西方数学的评价.
在中西文化的差异中,我们深刻地体会到,西方数学的模式不会也不可能是人类数学的唯一发展模式,西方数学的价值标准不应该实际上也不可能成为人类古代数学唯一的评价标准.这正如像N.席文提问的那样：“为什么评判非欧文明史总是以其是否或接近于欧洲早期科学或近代科学的某些方面为试金石,为什么早期欧洲科学无需检验呢?”（注：N.席文,《为什么中国没有发生科学革命》,载《科学与哲学》,1984年第1期.）

就我看来我们的老祖现在研究数学是主要是贴近生活，注重使用；而西方的古代数学主要是理论上的。