∮L xy^2dy-x^2ydx/x^2+y^2 其中L是圆周x^2+y^2=a^2的顺时针方向
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 20:01:04
∮L xy^2dy-x^2ydx/x^2+y^2 其中L是圆周x^2+y^2=a^2的顺时针方向
∮L xy^2dy-x^2ydx/x^2+y^2 其中L是圆周x^2+y^2=a^2的顺时针方向
∮L xy^2dy-x^2ydx/x^2+y^2 其中L是圆周x^2+y^2=a^2的顺时针方向
【L】∮(xy²dy-x²ydx)/(x²+y²) 其中L是圆周x²+y²=a²的顺时针方向
P=-x²y/(x²+y²)；∂P/∂y=[-x²(x²+y²)+2x²y²]/(x²+y²)²=x²(y²-x²)/(x²+y²)²；
Q=xy²/(x²+y²)；∂Q/∂x=[y²(x²+y²)-2x²y²]/(x²+y²)²=y²(y²-x²)/(x²+y²)²；
故∂Q/∂x≠∂P/∂y.
把积分路径L的方程改成参数形式：x=acost,y=asint,dx=-asintdt,dy=acostdt；
故∮(xy²dy-x²ydx)/(x²+y²)=【0,2π】(1/a²)∫[(asint)(asint)²(acost)-(acost)²(asint)(-asint)]dt
=【0,2π】(a²)∫(sin³tcost+sin²tcos²t)dt=【0,2π】(a²)[∫sin³tcostdt+∫sin²t(1-sin²t)dt]
=【0,2π】(a²)[∫sin³td(sint)+∫sin²tdt-∫sin⁴tdt]
=【0,2π】(a²)[(1/4)sin⁴t+∫sin²tdt-(1/4)sin³tcost+(3/4)∫sin²tdt]
=【0,2π】(a²)[(1/4)sin⁴t-(1/4)sin³tcost+(7/4)∫sin²tdt]
=【0,2π】(a²)[(1/4)sin⁴t-(1/4)sin³tcost+(7/16)∫(1-cos2t)d(2t)]
=【0,2π】(a²)[(1/4)sin⁴t-(1/4)sin³tcost+(7/16)(2t-sin2t)]
=(7/16)(4π)=(7/4)π