10个平面可将空间分成M个部分,则M的最大值为
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 23:03:22
10个平面可将空间分成M个部分,则M的最大值为
10个平面可将空间分成M个部分,则M的最大值为
10个平面可将空间分成M个部分,则M的最大值为
这个问题得从n条直线最多将平面分为几个部分入手.
设n条直线最多将平面分为a(n)部分,易见a(1) = 2.
考虑在已经有n条直线的平面上再增加一条直线,平面被分成的部分数会增加多少.
容易知道,部分数的增加值恰好等于这最后一条直线被前n条直线分成的段数.
也即与前n条直线的不同交点的个数+1.
因此部分数的增加值不超过n+1,且n+1总是可以取到的(只要最后一条直线不经过已有的交点).
可得到递推公式a(n+1) = a(n)+n+1,则a(n) = 2+2+3+...+n.
由等差数列求和得a(n) = 2+(n-1)(2+n)/2 = (n²+n+2)/2.
设n个平面最多将空间分为b(n)部分,易见b(1) = 2.
和直线的情况一样,在已有的n个平面基础上再添加一个平面时,
空间的部分数的增加值等于等于最后一个平面被前n个平面分成的部分数.
平面的交线是直线,因此即为最后一个平面被某n条(可能重合的)直线分成的部分数.
由上面结果,这个部分数不超过a(n),且a(n)总是可以取到的:
只要最后一个平面与之前的平面都相交,且不经过已有的交线以及已有的3个平面的交点.
于是可得递推公式b(n+1) = b(n)+a(n) = b(n)+(n²+n+2)/2 = b(n)+n(n+1)/2+1.
b(n) = 2+(1·2/2+1)+(2·3/2+1)+(3·4/2+1)+...+((n-1)n/2+1).
用公式:1·2+2·3+3·4+...+(n-1)n = n(n²-1)/3 (由3k(k+1) = k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)裂项证明).
可以得到:b(n) = 2+n(n²-1)/6+(n-1) = (n³+5n+6)/6.
代入n = 10得b(10) = 176.