过点P(2,1)作直线L,分别交X轴,Y正半轴于于A、B两点,当三角形AOB面积最小时,求直线L的方程?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 17:51:14
过点P(2,1)作直线L,分别交X轴,Y正半轴于于A、B两点,当三角形AOB面积最小时,求直线L的方程?
过点P(2,1)作直线L,分别交X轴,Y正半轴于于A、B两点,当三角形AOB面积最小时,求直线L的方程?
过点P(2,1)作直线L,分别交X轴,Y正半轴于于A、B两点,当三角形AOB面积最小时,求直线L的方程?
设直线方程为Y=K（X-2）+1（K=2倍根号下（（-2K）·（1/-2K）） +2=4
当且仅当“（-2K）=（1/-2K）”时,三角形AOB面积有最小值为4,则K=-1/2（K
let L:y=mx+c
it pass through P(2,1)
1= 2m+c
c=1-2m
L: y = mx + (1-2m), =>
A(-(1-2m)/m ,0), B( 0, 1-2m)
三角形AOB面积
A=(1/2)|OA||OB|
= (1/2) [-(1-2m)/m]( 1-2m)
...
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let L:y=mx+c
it pass through P(2,1)
1= 2m+c
c=1-2m
L: y = mx + (1-2m), =>
A(-(1-2m)/m ,0), B( 0, 1-2m)
三角形AOB面积
A=(1/2)|OA||OB|
= (1/2) [-(1-2m)/m]( 1-2m)
= -(1/2)(1-2m)^2/m
A' = -(1/2) [(1-2m)^2 +4m(1-2m)]/m^2 =0
(1-2m)^2 + 4m(1-2m) =0
1-4m +4m^2 +4m -8m^2 = 0
4m^2 = 1
m = 1/2 or -1/2
when m =-1/2
c =1-2m
= 1- 2(-1/2) = 2
m= 1/2, => c = 0 ( rejected)
A''(-1/2) > 0 ( min)
L: y = (-1/2) x + 2
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最笨的方法:
可令直线l的方程为y-1=k*(x-2)
求出坐标A(-1/k +2,0),B(0,-2k+1)
再求出|PA|=根号(1/k^2 +1),|PB|=2*根号(k^2+1)
所以|PA|*|PB|=2根号(1/k^2 +1)*根号(k^2+1)
=2*根号[(1/k^2 +1)(k^2+1)]
=2*根号[2+k^2 + 1/ k^2...
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最笨的方法:
可令直线l的方程为y-1=k*(x-2)
求出坐标A(-1/k +2,0),B(0,-2k+1)
再求出|PA|=根号(1/k^2 +1),|PB|=2*根号(k^2+1)
所以|PA|*|PB|=2根号(1/k^2 +1)*根号(k^2+1)
=2*根号[(1/k^2 +1)(k^2+1)]
=2*根号[2+k^2 + 1/ k^2]
>=2*根号(2+2)
=4
要取等号必须 k^2 =1/ k^2 得k=±1
又直线l交x,y轴正半轴
因此k只能取－1
所以直线l的方程为 y=－x+3
简单的方法：
参数法：
直线方程为
x=2+t*cosα
y=1+t*sinα
可得|PB|＝|2/cosα|, |PA|＝|1/sinα|
|PA||PB|=|(2/cosα)*(1/sinα)|
=|2/(cosα*sinα)|
=|4/sin2α|
>=4
当sin2α=1即α＝45度或135度时最小（α是直线与x正半轴的成的角）
又直线l交x,y轴正半轴
所以α＝135度
即直线的斜率为－1
其他同上
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