对于（x的立方+y的立方等于z的立方）这个方程没有实数解欧拉解的方程过程一定要详细x,y,z 是非o整数 题目有点错了
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 07:37:26
对于（x的立方+y的立方等于z的立方）这个方程没有实数解欧拉解的方程过程一定要详细x,y,z 是非o整数 题目有点错了
对于（x的立方+y的立方等于z的立方）这个方程没有实数解
欧拉解的方程
过程一定要详细
x,y,z 是非o整数 题目有点错了
对于（x的立方+y的立方等于z的立方）这个方程没有实数解欧拉解的方程过程一定要详细x,y,z 是非o整数 题目有点错了
显然有实数解
x=y=z=0
不是没有实数解,而是没有非平凡整数解.
用反证法.假设原方程有正整数解,那么在全体正整数解中,必有一组解x0,y0,z0使z0取最小值.
首先,x0,y0,z0两两互素(显然)
所以必为一奇一偶.设y0为偶数.
(z0^2-y0^2,z0^2+y0^2)=(2z0^2,2y0^2)=1(辗转相除法)
所以(z0^2-y0^2)(z0^2+y0^2)=x0^4
因为两两互素,所以可设z0^...
全部展开
用反证法.假设原方程有正整数解,那么在全体正整数解中,必有一组解x0,y0,z0使z0取最小值.
首先,x0,y0,z0两两互素(显然)
所以必为一奇一偶.设y0为偶数.
(z0^2-y0^2,z0^2+y0^2)=(2z0^2,2y0^2)=1(辗转相除法)
所以(z0^2-y0^2)(z0^2+y0^2)=x0^4
因为两两互素,所以可设z0^2-y0^2=u^4,z0^2+y0^2=v^4
其中u,v为互素的奇数.所以y0^2=0.5(v^2-u^2)(v^2+u^2)
而(v^2-u^2,(v^2+u^2)/2)=1(辗转相除法)
同理可得v^2-u^2=a^2, (v^2+u^2)/2=b^2
其中a,b互素且a为偶数,b为奇数.
可推得0
u=r^2-s^2,a=2rs,v=r^2+s^2
验证可得r^4+s^4=b^2矛盾.
所以无正整数解.证毕.
收起