探索n*n的正方形钉子板上（n是钉子板每边的钉子数,小正方形的边长为1）,连续任意两个钉子做得到的不同长度值的线段总数：当n=2时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1与根号2,所以不同
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 13:44:55
探索n*n的正方形钉子板上（n是钉子板每边的钉子数,小正方形的边长为1）,连续任意两个钉子做得到的不同长度值的线段总数：当n=2时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1与根号2,所以不同
探索n*n的正方形钉子板上（n是钉子板每边的钉子数,小正方形的边长为1）,连续任意两个钉子做得到的不同长度值的线段总数：当n=2时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1与根号2,所以不同长度值的线段只有两种,若用s表示不同长度值的线段总数,则s=2；当n=3时,不同长度值的线段有5种,比n=2时增加了3种,即s=2+3=5；当n=4时,可以看出这时又比n=3时增加了4种,s=5+4=9种.,对于6*6的钉子板,再具体数一数,你的猜想对任意数n成立吗
探索n*n的正方形钉子板上（n是钉子板每边的钉子数,小正方形的边长为1）,连续任意两个钉子做得到的不同长度值的线段总数：当n=2时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1与根号2,所以不同
下面是我构造的所有可能的长度值（用长度的平方来表示）每行代表增加的长度的平方.
0 n=1
1^2+0 1^2+1^2 n=2
2^2+0 2^2+1^2 2^2+2^2 n=3
3^2+0 3^2+1^2 3^2+2^2 3^2+3^2 n=4
.
(n-1)^2+0 (n-1)^2+1^2 （n-1）^2+2^2 .（n-1）^2+(n-1)^2 n=n
下面说明上面确实是所有可能的长度的平方,对于n*n的钉子,如果增加为（n+1)*(n+1),若任意两点来自n*n的区域,则仍然归于n*n的钉子的情况,若两点不在n*n的区域上,则问题可以等效为从一个顶点出发,到邻边的各个点的长度.这也是加0,加1^2,加2^2的来历.
那么上面的长度若没有重复的,则猜想成立.可惜我发现有重复的情况.
本来问题是转化为a^2+b^2=n^2+m^2有没有解的,可是这个不知道有没有解,所以证明没有方向.
只好试一下,设a为四个数中最大的,那么设n为次大的,不妨设为a-1,则可得a^2+b^2=(a-1)^2+m^2,
化简得2a-1=（m+b）（m-b）,这样的2a-1为奇数,取一个为合数的奇数,则不妨取a=11,可得m=5,b=2,于是得到一组数,a=11,b=2,n=10,m=5,所以有重复的长度,猜想不成立.