线性相关性证明4请用2种以上方法证明

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/23 12:26:33

线性相关性证明4请用2种以上方法证明线性相关性证明4请用2种以上方法证明线性相关性证明4请用2种以上方法证明常规证法:设k1b1+k2b2+...+krbr=0.则有(k1+k2+...+kr)a1+

线性相关性证明4请用2种以上方法证明
线性相关性证明4
请用2种以上方法证明

线性相关性证明4请用2种以上方法证明
常规证法:
设 k1b1+k2b2+...+krbr=0.
则有 (k1+k2+...+kr)a1+(k2+...+kr)a2+...+krar = 0.
因为 a1,a2,...,ar 线性无关.
所以有
k1+k2+...+kr=0
k2+...+kr=0
......
kr=0
所以必有 k1=k2=...=kr=0.
所以 b1,b2,...,br 线性无关.
特殊证法:
由已知,(b1,b2,...,br)=(a1,a2,...,ar)K.
其中K=
1 1 ...1
0 1 ...1
......
0 0 ...1
易知 |K|=1,所以K可逆.
所以有 r(b1,b2,...,br) = r[(a1,a2,...,ar)K] = r(a1,a2,...,ar)=r.
所以 b1,b2,...,br 线性无关.
[ 我换了角度,没用那个结论,用了这个结论:若P可逆,则 r(AP)=rA) ]

首先，线性无关是指向量组中每一对向量之间全都无关
1、
做初等变换
b1,b2,……,br
=a1,a1+a2,……,a1+a2+……+ar
=a1,a1+a2,……,ar
=a1,a2,……,ar
所以
向量组无关
2、
若向量组b1,b2,……,br线性相关
设，有
b1=b2+b3+……+br

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首先，线性无关是指向量组中每一对向量之间全都无关
1、
做初等变换
b1,b2,……,br
=a1,a1+a2,……,a1+a2+……+ar
=a1,a1+a2,……,ar
=a1,a2,……,ar
所以
向量组无关
2、
若向量组b1,b2,……,br线性相关
设，有
b1=b2+b3+……+br
=a1+a2+a1+a2+a3+……a1+a2+……+ar
则有
a1=(r-1)a1+(r-2)a2+(r-3)a3+……+ar
a1可由其余向量线性表示
则向量组a1,a2,……,ar线性相关
与题设矛盾
则向量组b1,b2,……,br无关

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