四棱锥 立体几何求第二问
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 17:17:13
四棱锥立体几何求第二问四棱锥立体几何求第二问四棱锥立体几何求第二问(2)解法一：设E为SD的中点,连接AE∵ABCD为正方形∴CD⊥AD∵SA⊥平面ABCD,CD∈平面ABCD∴CD⊥SA∴CD⊥平面
四棱锥 立体几何求第二问
四棱锥 立体几何
求第二问
四棱锥 立体几何求第二问
(2)
解法一：
设E为SD的中点,连接AE
∵ABCD为正方形
∴CD⊥AD
∵SA⊥平面ABCD,CD∈平面ABCD
∴CD⊥SA
∴CD⊥平面SAD
又∵AE∈平面SAD
∴AE⊥CD
∵SA⊥AD,SA=AD,E为SD中点
∴等腰直角△SAD中(∠ASD=45°),AE⊥SD
∴AE⊥平面SCD
∴AE与平面SCD所成的角为∠ASD,即为45°.
解法二：等体积法(当直接做平面的垂线困难时此法甚优).
连接AC
∵三棱锥S-ACD与三棱锥A-SCD是同一个三棱锥
∴V三棱锥S-ACD=V三棱锥A-SCD
∵SA⊥平面ABCD,且ABCD为正方形
∴S△ACD=a²/2,CD⊥平面SAD
∴V三棱锥S-ACD=S△ACD*SA/3=a³/6
∵SA⊥平面ABCD,SA=AB=a
∴△SAD为等腰直角三角形,SD=√2a
∵CD⊥平面SAD
∴CD⊥SD,S△SCD=CD*SD/2=√2a²/2
设A点到平面SCD的距离为h
V三棱锥A-SCD=S△SCD*h/3=a³/6,即h=√2a/2
设SA与平面SCD所成的角为β,则sinβ=h/SA=√2/2
∴β=45°
在有些题目做辅助线非常困难,建立向量坐标又非常繁琐,等体积法就是个不错的选择,