分解因式x(1+x)^3+x(1+x)^2+x(1+x)+x+1 找规律 1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^n-1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 17:41:35
分解因式x(1+x)^3+x(1+x)^2+x(1+x)+x+1 找规律 1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^n-1
分解因式x(1+x)^3+x(1+x)^2+x(1+x)+x+1 找规律 1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^n-1
分解因式x(1+x)^3+x(1+x)^2+x(1+x)+x+1 找规律 1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^n-1
x(1+x)³+x(1+x)²+x(1+x)+x+1
=(x+1)[x(1+x)²+x(x+1)+x+1]
=(x+1)(x+1)[x(1+x)+x+1]
=(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)
=(x+1)^4
1+x+x(1+x)+x(1+x)²+.+x(1+x)^n-1
=(x+1)^n
注意，x(1+x)^n+(1+x)^n=(1+x)(1+x)^n=(1+x)^(n+1)
故，x(1+x)^3+x(1+x)^2+x(1+x)+x+1
=x(1+x)^3+x(1+x)^2+［x(1+x)+x+1］
=x(1+x)^3+x(1+x)^2+(1+x)^2
=x(1+x)^3+［x(1+x)^2+(1+x)^2］
=x(1+x)^3+(1+x)^3
=(1+x)^4
同理，1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^n-1=(1+x)^n
x(1+x)^3+x(1+x)^2+x(1+x)+x+1
=x+1 +x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3
=(x+1)+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3
=(x+1)(x+1)+x(1+x)^2+x(1+x)^3
=(x+1)²+x(x+1)²+x(x+1)³
=(x+1)²(x+1)+x(x+1)³
=(x+1)³+x(x+1)³
=(x+1)³(x+1)
=(x+1)^4
1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^n-1
=(x+1)^n
根据第一个式子得(x+1)^4=(x+1)^(3+1)
∴第二个式子得(x+1)^(n-1+1)=(x+1)^n