直线在平面上的投影问题~求直线L:(x-1)/1=(y-1)/2=(z-1)/3 在平面P:x+y+z+3=0上投影直线的方程~直线可以化成2个平面的么？就这样拆开么？过此直线的平面系为 (2x-1-y)+k(3x-2-z)=0 (1) 这个式子怎么出来
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 02:44:05
直线在平面上的投影问题~求直线L:(x-1)/1=(y-1)/2=(z-1)/3 在平面P:x+y+z+3=0上投影直线的方程~直线可以化成2个平面的么？就这样拆开么？过此直线的平面系为 (2x-1-y)+k(3x-2-z)=0 (1) 这个式子怎么出来
直线在平面上的投影问题~
求直线L:(x-1)/1=(y-1)/2=(z-1)/3 在平面P:x+y+z+3=0上投影直线的方程~
直线可以化成2个平面的么？就这样拆开么？
过此直线的平面系为 (2x-1-y)+k(3x-2-z)=0 (1)
这个式子怎么出来的？
直线在平面上的投影问题~求直线L:(x-1)/1=(y-1)/2=(z-1)/3 在平面P:x+y+z+3=0上投影直线的方程~直线可以化成2个平面的么？就这样拆开么？过此直线的平面系为 (2x-1-y)+k(3x-2-z)=0 (1) 这个式子怎么出来
先解直线L : (x - 1)/1 = (y - 1)/2 = (z - 1)/3 与平面P : x + y + z + 3 = 0 的交点坐标Q,
(x - 1)/1 = (y - 1)/2,
(y - 1)/2 = (z - 1)/3,
x + y + z + 3 = 0,
解得Q (0, -1, -2),
显然直线上存在一点A (1, 1, 1), 随便找的, 你设了x, y就可以求出z了,
设A (1, 1, 1) 在平面上的投影为B (u, v, w) 则, AB ⊥p,p的法向量(1,1,1),
于是AB方程为(u - 1)/1 = (v - 1)/1 = (w - 1)/1,
又考虑B再平面p上,所以 u+v+w+3 = 0,
B点坐标 (u, v, w) 同时满足
(u - 1)/1 = (v - 1)/1,
(v - 1)/1 = (w - 1)/1,
u+v+w+3 = 0,
联立解得
B点坐标(-1, -1, -1),
直线BQ即为所求射影
(x-(-1))/(0-(-1))=(y-(-1))/(-1-(-1))=(z-(-1))/(-2-(-1))
化简得
(x+1)/1=(y+1)/0=(z+1)/(-1),
即射影方程为:
(x+1)/1=(z+1)/(-1),
y=-1,
即射影方程为:
x+z+2=0,
y=-1,
完毕.
可以化成两个平面 (x-1)/1=(y-1)/2 即2x-1-y=0
(x-1)/1=(z-1)/3 即3x-2-z=0
过此直线的平面系为 (2x-1-y)+k(3x-2-z)=0 (1)
化简得 (3k+2)x-y-kz=0 此平面的法向量 n2=(3k+2,-1,-k)
P平面的法向量 n1=(1,1,1)
n1*n2=0得(3k+2)*1+...
全部展开
可以化成两个平面 (x-1)/1=(y-1)/2 即2x-1-y=0
(x-1)/1=(z-1)/3 即3x-2-z=0
过此直线的平面系为 (2x-1-y)+k(3x-2-z)=0 (1)
化简得 (3k+2)x-y-kz=0 此平面的法向量 n2=(3k+2,-1,-k)
P平面的法向量 n1=(1,1,1)
n1*n2=0得(3k+2)*1+(-1)*1+(-k)*1=0
即2k+1=0 得k=-1/2
把k代入(1)得 2x-1-y-3/2*x+1+1/2*x=0
即x-2y+z=0
∴投影直线的方程为 x-2y+z=0,x+y+z+3=0
注：直线可以看作两个平面的交线
过此直线的平面系为 (2x-1-y)+k(3x-2-z)=0 表示过这条直线的所有平面但不包括3x-2-z=0 因为0+k*0=0恒成立，当k变化时可以表示一系列平面
这是最简单的方法，一定要学会，直线系、平面系很有用
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