求教一道高中立体几何题?已知：空间四边形ABCD中,若AB垂直CD,AD垂直BC,求证：AC垂直BD.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/01/31 09:24:04

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求教一道高中立体几何题?已知：空间四边形ABCD中,若AB垂直CD,AD垂直BC,求证：AC垂直BD.
求教一道高中立体几何题?
已知：空间四边形ABCD中,若AB垂直CD,AD垂直BC,求证：AC垂直BD.

求教一道高中立体几何题?已知：空间四边形ABCD中,若AB垂直CD,AD垂直BC,求证：AC垂直BD.
连结BC,AD.设A在面BCD上的射影为O.连结BO,CO,DO.
则∵CD⊥AB,CD⊥AO,AB∩AO=A,∴CD⊥面ABO.
而BO在平面ABO内,∴BO⊥CD.
同理,DO⊥BC.因此,O是△BCD的垂心,因此有
CO⊥BD.
∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O,∴BD⊥面AOC.
而AC在平面AOC内,∴BD⊥AC.

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