1.(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc 2.2(a+b)(a+c)(b+c)+abc

1.(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc 2.2(a+b)(a+c)(b+c)+abc
1.(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc 2.2(a+b)(a+c)(b+c)+abc

1.(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc 2.2(a+b)(a+c)(b+c)+abc
先说一点储备知识：
1）因式分解定理：
如果x=a时,多项式 b•x^n+c•x^(n-1)+d•x^(n-2)+……+mx+n的值为0,那么(x-a)是该多项式的一个因式.
当然 含有多个字母的式子 也同样成立,因为你可以把一个字母看做主元,其他字母看做常数,
比如x³+x²y+y²x+y³=x³+y•x²+y²•x+y³,其中y•x²的y,y²•x的y²,y³就可看做常数
x³+x²y+y²x+y³取x=-y代入
等于 –y³+y³-y³+y³=0,所以x+y就是其一个因式,
2）对称多项式：
一个含有多个字母的多项式,将其中任意两个字母对调,仍与原多项式一样,那么这个多项式是对称多项式.
比如：（a+b+c）³-a³-b³-c³
把a与b对调得 (b+a+c)³-b³-a³-c³与原多项式一样,
所以（a+b+c）³-a³-b³-c³是对称多项式
而对于对称多项式 ,如果已知它含有一个低次数的因式,那么它必含有 相同类型其他因式.
比如已知（a+b+c）³-a³-b³-c³有因式(a+b)
与a+b类型相同的因式有b+c,a+c
所以（a+b+c）³-a³-b³-c³有因式a+b ,b+c,a+c
【因为（a+b+c）³-a³-b³-c³是三次式,(a+b)(b+c)(a+c)已满三次
所以设（a+b+c）³-a³-b³-c³=k(a+b)(b+c)(a+c)
取a=-1,b=0,c=2代入
左边=1³-(-1)³-0³-2³=-6
右边=k×(-1)×2×1= -2k
所以 -6=-2k,k=3
所以（a+b+c）³-a³-b³-c³=3(a+b)(b+c)(a+c)
（对称式一般用待定系数法分解）】
再回到你的题目,
1）（a+b+c)(ab+bc+ac)-abc
很显然,这是一个对称式
取a=-b代入
得（a+b+c)(ab+bc+ac)-abc
=(-b+b+c)(-b²+bc-bc)+b²c
=c(-b²)+b²c
=0
所以（a+b+c)(ab+bc+ac)-abc有因式a+b,
同样的,也有相同类型的因式,b+c,a+c
设（a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=k(a+b)(a+c)(b+c)
取a=1,b=1,c=1代入
左边=3×3-1=8
右边=k×2×2×2=8k
所以 k=1
即 (a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=(a+b)(a+c)(b+c)
2）(a+b)(a+c)(b+c)+abc
很显然这也是一个对称式
取c= -a-b代入
得 (a+b)(a+c)(b+c)+abc
=(a+b)(a-a-b)(b-a-b)-ab(a+b)
=ab(a+b)-ab(a+b)
=0
所以 a+b+c是(a+b)(a+c)(b+c)+abc的一个因式
根据其特点,设(a+b)(a+c)(b+c)+abc=(a+b+c)[k(a²+b²+c²)+m(ab+bc+ac)]
把a=1,b=1,c=1代入
左边=2×2×2+1=9
右边=3×(3k+3m)
得 k+m=1
把a=0,b=0,c=1代入
左边=0×1×1+0=0
右边=1×k
得 k=0
解得,k=0,m=1
所以 (a+b)(a+c)(b+c)+abc=(a+b+c) (ab+bc+ac)

(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc
=a^2b+abc+a^2c+ab^2+b^2c+abc+abc+bc^2+ac^2-abc
=a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+3abc-abc
=a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+2abc
=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2abc
(a...

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(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc
=a^2b+abc+a^2c+ab^2+b^2c+abc+abc+bc^2+ac^2-abc
=a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+3abc-abc
=a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+2abc
=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2abc
(a+b)(a+c)(b+c)+abc
=(a^2+ac+ab+bc)(b+c)+abc
=a^2b+a^2c+abc+ac^2+ab^2+abc+b^2c+bc^2+abc
=a^2b+a^2c+ac^2+ab^2+b^2c+bc^2+3abc
=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+3abc

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