线性代数 内积已知：f属于span{1,sin(x),cos(x)},=1/pi (积分f(x)g(x)dx,从-pi到pi)求||cos(2x)-f(x)||的最小值我唯一一点儿思路就是有个定理||u+v||有一点翻译错了，是求f的方程当||cos(2x)-f(x)||最小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 00:40:34
线性代数 内积已知：f属于span{1,sin(x),cos(x)},=1/pi (积分f(x)g(x)dx,从-pi到pi)求||cos(2x)-f(x)||的最小值我唯一一点儿思路就是有个定理||u+v||有一点翻译错了，是求f的方程当||cos(2x)-f(x)||最小
线性代数 内积
已知：f属于span{1,sin(x),cos(x)},=1/pi (积分f(x)g(x)dx,从-pi到pi)
求||cos(2x)-f(x)||的最小值
我唯一一点儿思路就是有个定理||u+v||
有一点翻译错了，是求f的方程当||cos(2x)-f(x)||最小
线性代数 内积已知：f属于span{1,sin(x),cos(x)},=1/pi (积分f(x)g(x)dx,从-pi到pi)求||cos(2x)-f(x)||的最小值我唯一一点儿思路就是有个定理||u+v||有一点翻译错了，是求f的方程当||cos(2x)-f(x)||最小
我想范数||f||应该是为内积的平方根吧?
设f(x)＝a×sinx＋b×cosx＋c,a,b,c是任一实数,||cos2x-f(x)||^2＝1/π×∫(-π到π) (cos2x-f(x))^2dx＝1/π×∫(-π到π) (cos2x-asinx-bcosx-c)^2dx.
因为1,sinx,cosx,cos2x在[-π,π]上是正交的,所以||cos2x-f(x)||^2＝1/π×∫(-π到π) [(cos2x)^2＋(sinx)^2＋(bcosx)^2＋c^2]dx＝1＋(a^2+b^2+2c^2)π^2
最小值很明显是a=b=c=0时,此时f(x)＝0,最小值是1
楼上的思路正确，不过积分算得有问题吧……
设f(x)=acosx+bsinx+c, 记h(x)=cos2x-f(x).
由所给内积定义不难验证：{1, cosx, sinx, cos2x}是两两正交的，且||1||=2, 后三个模均为1.
||h||²=||cos2x-acosx-bsinx-c||²=
全部展开
楼上的思路正确，不过积分算得有问题吧……
设f(x)=acosx+bsinx+c, 记h(x)=cos2x-f(x).
由所给内积定义不难验证：{1, cosx, sinx, cos2x}是两两正交的，且||1||=2, 后三个模均为1.
||h||²=||cos2x-acosx-bsinx-c||²=
=||cos2x||²+a²||cosx||²+b²||sinx||²+c²||1||² //由正交性
=1+a²+b²+4c²≤1.
上式"="成立当且仅当a=b=c=0.
故||cos2x-f(x)||取最小值时，f=0.
收起
f(x)=k+msinx +ncosx
F(k,m,n)=
这是一个关于x的定积分，求解后得到一个关于k,m,n的二次方程。这种二次方程必然有最小值，其最小值在F对k,m,n取偏导数=0时取得，很容易得到答案的，就是运算很繁琐，不帮你写了...
全部展开
f(x)=k+msinx +ncosx
F(k,m,n)=
这是一个关于x的定积分，求解后得到一个关于k,m,n的二次方程。这种二次方程必然有最小值，其最小值在F对k,m,n取偏导数=0时取得，很容易得到答案的，就是运算很繁琐，不帮你写了
收起