已知a,b都是正数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2≥(ax+by)^2是高二不等式证明题

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 11:32:13
已知a,b都是正数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2≥(ax+by)^2是高二不等式证明题已知a,b都是正数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2≥(ax+by)^2是

已知a,b都是正数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2≥(ax+by)^2是高二不等式证明题
已知a,b都是正数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2≥(ax+by)^2
是高二不等式证明题

已知a,b都是正数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2≥(ax+by)^2是高二不等式证明题
已知a,b都是正数,x,y∈R,a+b=1,求证:ax^2+by^2≥(ax+by)^2
(分析法)
证明:
ax^2+by^2≥(ax+by)^2
> x^2+y^2≥2xy
所以,
ax^2+by^2≥(ax+by)^2

因a、b、x、y>0,且a+b=1,
故由均值不等式得x^2+y^2>=2xy,
于是,ax^2+by^2=(a+b)(ax^2+by^2)
=(ax)^2+ab(x^2+y^2)+(by)^2>=(ax)^2+2(ab)(xy)+(by)^2,
即ax^2+by^2>=(ax+by)^2。

利用a+b=1
ax^2+by^2=(a+b)ax^2+(a+b)by^2
=a^2x^2+abx^2+aby^2+b^2x^2
=a^2x^2+ab(x^2+y^2)+b^2x^2
≥a^2x^2+ab2√(x^2*y^2)+b^2x^2
=a^2x^2+ab2xy+b^2x^2
=(ax+by)^2