设f(n)=1+1/2+1/3+……+1/n,由f(1)=1>1/2,f(3)>1,f(7)>3/2,f(15)>2,……（1）你能得到怎样的结论?证明（2）是否存在一个整数T,使对任意的正整数n,恒有f(n)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 17:11:44
设f(n)=1+1/2+1/3+……+1/n,由f(1)=1>1/2,f(3)>1,f(7)>3/2,f(15)>2,……（1）你能得到怎样的结论?证明（2）是否存在一个整数T,使对任意的正整数n,恒有f(n)
设f(n)=1+1/2+1/3+……+1/n,由f(1)=1>1/2,f(3)>1,f(7)>3/2,f(15)>2,……
（1）你能得到怎样的结论?证明
（2）是否存在一个整数T,使对任意的正整数n,恒有f(n)
设f(n)=1+1/2+1/3+……+1/n,由f(1)=1>1/2,f(3)>1,f(7)>3/2,f(15)>2,……（1）你能得到怎样的结论?证明（2）是否存在一个整数T,使对任意的正整数n,恒有f(n)
1.
f(1)=f(2-1)=1>1/2 f(3)=f(2²-1)>1=2/2 f(7)=f(2³-1)>3/2 f(15)=f(2⁴-1)>4/2
猜想：f(2ⁿ-1)>n/2
证：
n=1时,f(2-1)=f(1)=1>1/2,不等式成立.
假设当n=k(k∈N+),f(2^k -1)>k/2,则当n=k+1时,
f[2^(k+1)-1]=1+1/2+1/3+...+1/(2^k -1) +1/(2^k)+1/(2^k +1)+...+1/(2×2^k-1)
=f(2^k -1)+1/(2^k)+1/(2^k +1)+...+1/(2^k -1+2^k)
>f(2^k -1)+2^k/(2×2^k -1) /第一次放缩
>k/2 +2^k/(2×2^k -1) /第二次放缩
2^k/(2×2^k -1)- 1/2
=[2×2^k -(2×2^k -1)]/[2(2×2^k -1)]
=1/[2(2×2^k -1)]
k≥1 2^k≥2 2×2^k≥4 2×2^k-1≥3 1/[2(2×2^k-1)]≤1/3n/2
2.
由1的结果可知,无论n取多大值,总能找到f(2ⁿ-1)>n/2,令n/2=T,则无论T取多大的值,总能找到f(2ⁿ-1)>T,因此满足题意的T是不存在的.