是否存在焦点在x轴上的椭圆,其离心率e=（√3）/2,过圆x^2+y^2-4x-2y+（5/2）=0的圆心且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,且使|OA|=|OB|.若存在,请求出椭圆的方程；若不存在,请说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/24 13:19:38
是否存在焦点在x轴上的椭圆,其离心率e=（√3）/2,过圆x^2+y^2-4x-2y+（5/2）=0的圆心且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,且使|OA|=|OB|.若存在,请求出椭圆的方程；若不存在,请说明理由
是否存在焦点在x轴上的椭圆,其离心率e=（√3）/2,
过圆x^2+y^2-4x-2y+（5/2）=0的圆心且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,且使|OA|=|OB|.若存在,请求出椭圆的方程；若不存在,请说明理由
是否存在焦点在x轴上的椭圆,其离心率e=（√3）/2,过圆x^2+y^2-4x-2y+（5/2）=0的圆心且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,且使|OA|=|OB|.若存在,请求出椭圆的方程；若不存在,请说明理由
假设存在符合条件的椭圆x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)
因为离心率e=√3/2,变形得：c/a=√3/2,c²/a²=3/4,(a²-b²)/a²=3/4,解得a=2b,
所以椭圆方程进一步改写为：x²/(2b)²+y²/b²=1
将已知圆x²+y²-4x-2y+5/2=0变形为(x-2)²+(y-1)²=5/2,所以已知圆的圆心为(2,1)
从而由点斜式可写出L的直线方程为：y=x-1
设A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点坐标为H(xo,yo),
将L的直线方程与椭圆方程联立消x得：5x²-8x+4-4b²=0
由韦达定理有：
x1+x2= 8/5
所以xo=(x1+x2)/2=4/5,代入L的直线方程可求得yo= -1/5
所以OH的斜率k=(-1/5)/(4/5)= -1/4
因为|OA|=|OB|,所以OH⊥L,所以OH的斜率与直线L的斜率乘积等于 -1
而由上面的计算得出的是,这个乘积=(-1/4)*1= -1/4
矛盾,所以假设不成立,所以不存在符合条件的椭圆.