大学反常积分问题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 11:54:08
大学反常积分问题
大学反常积分问题
大学反常积分问题
其实这两题都可以视为由定积分给出的函数极限,而不作为广义积分理解.
毕竟对任意给定的x,所有出现的积分都是有限区间上的定积分.
而且所有积分都是可以积出来的(即用初等函数表示),所以直接算就行了.
1.分子∫{1,x} 1/t³ dt = (1-1/x²)/2 = (x²-1)/(2x²).
分母∫{1,x} 1/t² dt = 1-1/x = (x-1)/x.
故(∫{1,x} 1/t³ dt)/(∫{1,x} 1/t² dt) = (x+1)/(2x),
当x → +∞时,收敛到1/2.
注:从上面的计算可知,其实分子分母分别收敛到1/2和1.
因此下面的做法也是可行的:
lim{x → +∞} (∫{1,x} 1/t³ dt)/(∫{1,x} 1/t² dt)
= (lim{x → +∞} ∫{1,x} 1/t³ dt)/(lim{x → +∞} ∫{1,x} 1/t² dt)
= (∫{1,+∞} 1/t³ dt)/(∫{1,+∞} 1/t² dt)
= 1/2.
但是不适用洛必达(L'Hospital)法则.
2.分子∫{0,x} arctan(u)du = xarctan(x)-∫{0,x} u/(1+u²)du = xarctan(x)-ln(√(1+x²)).
然后由lim{x → +∞} x/√(1+x²) = 1,lim{x → +∞} arctan(x) = π/2,
以及lim{x → +∞} ln(√(1+x²))/√(1+x²) = 0,可知所求极限为π/2.
稍微简便一些的方法是使用洛必达法则(易见分母趋于无穷).
lim{x → +∞} (∫{0,x} arctan(u)du)/√(1+x²)
= lim{x → +∞} arctan(x)/(x/√(1+x²))
= π/2.