高等数学中绝对值的性质||x|-|y||

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/23 12:16:00

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高等数学中绝对值的性质||x|-|y||

高等数学中绝对值的性质||x|-|y||
首先,问题中的不等号应改为≤.
只需证明 -|x-y|≤|x|-|y|≤|x-y|
我们有如下的基本绝对值不等式：
|x|+|y|≥|x+y|
∴ |x-y|+|y|≥|(x-y)+y|=|x|
移项得 |x-y|≥|x|-|y|,
就是 |x|-|y|≤|x-y| (1)
由(1)又有
|y|-|y-x|≤|y-(y-x)|=|x|
∴ -|x-y|=-|y-x|≤|x|-|y| (2)
综合(1)、(2)原不等式得证.

答案：xy<0
(或者这样描述：x<0，y>0 或者x>0,y<0)
解答很简单，主要是理解清楚。
结合绝对值与数轴的性质
右边|x-y|数轴上表示：两点x,y 之间的距离。
左边||x|-|y||表示：两点x，y的值都对应到正轴时，两点之间的距离。
所以当x,y 反号是，上不等式恒成立，而同号或者有一个为O是，不等式不成立。
...

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|x-y|>=||x|-|y||两边平方化简得:x*y<=|x|*|y|显然,当x,y异号时x*y<|x|*|y|同号时x*y=|x|*|y|从而证明了|x-y|>=||x|-|y||

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