如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上一点.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 10:12:41
如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上一点.
如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上一点.
如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上一点.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∵SA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥SA,
∵SA∩AC=A,
∴BD⊥平面SAC,
∵BD⊂平面EBD,
∴平面EBD⊥平面SAC.
2、在平面SBC上作BF⊥SC,连结DF,
∵△SBC≌△SCD,
∴〈BCF=〈DCF,
CF=CF,（公用边,
BC=CD,
∴△BCF≌△DCF,
∴〈DFC=〈BFC=90°,
∴〈BFD是二面角B-SC-D的平面角,
若〈BFD=120°,
设BC=1,BF=DF=m,
BD=√2,
根据余弦定理,
BD^2=BC^2+CD^2-2BC*CD*cos120°,
2=2m^2+m^2,
m=√6/3,
CF=√（BC^2-BF^2)=√1-6/9）=√3/3,
∵BC⊥AB,
根据三垂线定理,
∴BC⊥SB,
BC^2=CF*SC,（RT△直角边是其在斜边射影和斜边的比例中项）
SC=√3,
∴SA=√（SC^2-AC^2)=1,
∴SA/AB=1,
当SA/SA=1时二面角B-SC-D为120度,
考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）欲证平面EBD⊥平面SAC，只需证BD⊥面SAC，利用线面垂直的判定定理可证得；
（2）作BM⊥SC于M，连接DM，可证得∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，利用余弦定理建立等量关系求解即可．
证明（1）∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，...
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考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）欲证平面EBD⊥平面SAC，只需证BD⊥面SAC，利用线面垂直的判定定理可证得；
（2）作BM⊥SC于M，连接DM，可证得∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，利用余弦定理建立等量关系求解即可．
证明（1）∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴SA⊥BD，
∵SA∩AC=A，∴BD⊥面SAC，
又∵BD⊥平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC；
（ 2 ）作BM⊥SC于M，连接DM，
∵SA⊥底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，
又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，
∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，
∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM．
要使∠BMD=120°，只须
BM2 DM 2-BD 2
2BM•DM
=cos120°，
即BM2=
1
3
BD2，而BD2=2AB2，∴BM2=
2
3
AB2，
∵BM×SC=SB×BC，SC2=SB2 BC2，
∴BM2×SC2=SB2×BC2，
∴
2
3
AB2（SB2 BC2）=SB2×BC2，
∵AB=BC，
∴2SB2 2AB2=3SB2，∴SB2=2AB2，
又∵AB2=SB2-SA2，
∴AB2=SA2，∴
SA
AB
=1，
故当
SA
AB
=1时，二面角B-SC-D的大小为120°．
点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．一般在证明面面垂直时，先证明线线垂直得到线面垂直，进而得面面垂直．
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