已知P是三角形OAB所在平面内一点,且向量OP=xOA(向量)+yOB（向量）（x,y属于R）（1）若点P在（1）若点P在直线AB上,则x,y应满足什么条件?（2）若0＜x+y＜1,求证点P必在三角形OAB内.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 01:08:22
已知P是三角形OAB所在平面内一点,且向量OP=xOA(向量)+yOB（向量）（x,y属于R）（1）若点P在（1）若点P在直线AB上,则x,y应满足什么条件?（2）若0＜x+y＜1,求证点P必在三角形OAB内.
已知P是三角形OAB所在平面内一点,且向量OP=xOA(向量)+yOB（向量）（x,y属于R）（1）若点P在
（1）若点P在直线AB上,则x,y应满足什么条件?
（2）若0＜x+y＜1,求证点P必在三角形OAB内.
已知P是三角形OAB所在平面内一点,且向量OP=xOA(向量)+yOB（向量）（x,y属于R）（1）若点P在（1）若点P在直线AB上,则x,y应满足什么条件?（2）若0＜x+y＜1,求证点P必在三角形OAB内.
(1) P点在直线AB上,的充分必要条件为:AP = kAB (k为一实数)
AP = OP- OA,AB = OB-OA.
即有:OP-OA = k(OB-OA),
即:OP = (1-k)OA +kOB
对照OP = xOA +yOB,知:有 x+y =1.
即,若点P在直线AB上,则x,y应满足:x+y =1.
(2)若0＜x+y＜1,且:x>0,y>0 求证点P必在三角形OAB内.(必须补充条件x>0,y>0.否则命题不成立)
OP= xOA +yOB =(x+y){OA + [y/(x+y)](OB-OA)} ＝ （x+y){OA +[y/(x+y)]AB}
记：OQ=OA+[y/(x+y)]AB .则有：OP = (x+y)OQ
当条件满足时,有y/(x+y)
(1)OP=OA+k(OB-OA)=(1-k)OA+kOB，所以x+y=1
(2)(还需要条件x>0且y>0才能保证点P必在OAB内，否则比如x=1，y=-0.5之类的就不行了）
证：
因为OP=xOA+yOB且x>0,y>0,所以点P在射线OA与射线OB形成的平面内
设AP=aAO+bAB,即OP-OA=(x-1)OA+yOB=(-a-b)OA+bOB
b...
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(1)OP=OA+k(OB-OA)=(1-k)OA+kOB，所以x+y=1
(2)(还需要条件x>0且y>0才能保证点P必在OAB内，否则比如x=1，y=-0.5之类的就不行了）
证：
因为OP=xOA+yOB且x>0,y>0,所以点P在射线OA与射线OB形成的平面内
设AP=aAO+bAB,即OP-OA=(x-1)OA+yOB=(-a-b)OA+bOB
b=y>0
x-1=-a-b ==> a=1-(x+y)>0
所以点P在射线AO与AB形成的平面内
所以点P在三角形OAB内
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