一道关于三角形重心的数学问题.今天,看到一道关于三角形的重心的问题,想了很久,我居然忘记了重心分中线是2：1.于是把重心研究了一番,想到了一个问题,看有没有人想过这个问题.记三角形

一道关于三角形重心的数学问题.今天,看到一道关于三角形的重心的问题,想了很久,我居然忘记了重心分中线是2：1.于是把重心研究了一番,想到了一个问题,看有没有人想过这个问题.记三角形
一道关于三角形重心的数学问题.
今天,看到一道关于三角形的重心的问题,想了很久,我居然忘记了重心分中线是2：1.于是把重心研究了一番,想到了一个问题,看有没有人想过这个问题.
记三角形的重心(三条中线的交点)为G,过点G作直线l,交ΔABC于P,Q两点,并将三角形分成两块,记面积较小的那一块面积为S1,面积较大的那一块面积为S2,ΔABC的面积为S,求S1:S的取值范围.
还不能发图片?

一道关于三角形重心的数学问题.今天,看到一道关于三角形的重心的问题,想了很久,我居然忘记了重心分中线是2：1.于是把重心研究了一番,想到了一个问题,看有没有人想过这个问题.记三角形
这个问题挺有意思的,以前的数学竞赛有过类似背景的题目.
结论应该是[4/9,1/2],最小值在PQ与某条边平行时取得,最大值在P、Q之一为某个顶点时取得.
先证最小、最大值分别是4/9,1/2吧,这个可以严格证明.
借用你的图,过G作AB平行线,分别交BC,CA于P0,Q0.
不妨设Q在A,Q0之间,只考虑Q从Q0变到A的过程即可.
我们证明：Q从Q0变到A时,S(CPQ)是单调增的,这样足矣.分两步：
1.证明Q在A,Q0之间时,GQ>GP.
过Q0作BC平行线交PQ于点X,则X一定在GQ上.由GP0=GQ0以及三角形全等,可知GX=GP,故GQ>GP.
2.设Q'在A,Q0之间,相应的P记作P'.证明S(CP'Q')>S(CPQ).
为此,只需证S(GQQ')>S(GPP').
事实上,GQ>GP,GQ'>GP',∠QGQ'=∠PGP',由三角形面积公式S=absinC/2,即知S(GQQ')>S(GPP').
这样,我们就说明了Q从Q0变到A时,S(CPQ)是（严格）单调增的.
而Q=Q0时S(CPQ):S(CAB)=4/9,Q=A时S(CPQ):S(CAB)=1/2,就说明S(CPQ)=S1,而且S1/S的最小、最大值分别是4/9,1/2.
至于为什么(4/9,1/2)中的值都可以取到,这个本质上是连续性,在中学范围内无法严格证明.不过可以这样理三角形ABC固定以后,当Q从Q0变到A时,S(CPQ)的变化过程是连续的；只要Q的变化量很小,S(CPQ)的变化量也很小,所以能取到所有中间值.

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很简单吧，是中线交点的说，那一定平分BQ，BC啊！（这是关键。）那么底相等，又同高（这个你懂吧？），面积自然相等啊。所以，S1：S=1:2，够简单了。。。
不过你有这份钻研的精神，数学一定不会差，就是别进到牛角尖去钻。。（想当年我也和你一样~）努力的孩纸，感觉你应该就要中考了~~加油吧~~。。。看清楚问题先说一下，那个最大值显然是1/2,至于最小么。。。这个牵涉到二次函数的问题。。。不算难...

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很简单吧，是中线交点的说，那一定平分BQ，BC啊！（这是关键。）那么底相等，又同高（这个你懂吧？），面积自然相等啊。所以，S1：S=1:2，够简单了。。。
不过你有这份钻研的精神，数学一定不会差，就是别进到牛角尖去钻。。（想当年我也和你一样~）努力的孩纸，感觉你应该就要中考了~~加油吧~~

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S1/s=1/2我不想再强调了，你看看前面的怎么回答的吧重心在物理上指质量 （厚度一样） 数学则表示过它能平分面积 题目说范围 你就信啦 太容易受骗了我去。。。 你自己回家翻翻数学课本，或者问问数学老师吧~~ 三角形的重心----三条中线的交点 还有这个题目是我自己出的。中线意义明白么 图画不了 能证的我晕~~~ 你以为，那三条中线分三角形的面积相等，就以为过这三条线的交点的所有直线都...

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S1/s=1/2

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s1/s=1 没有范围
设想一条线吊着这个三角形 无论线在哪 一定过重心你回去再慢慢学习吧~过重心就说明两边重量相等什么重量啊，这个是平面啊，而且重心的定义是中线的交点。。。。 总之你再想想吧~ 你先想一个简单的反例，推翻你这个1：1的观点(应该是1：2，我问的是小的比全部) 在这条直线是中线的时候才是1：2的...

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s1/s=1 没有范围
设想一条线吊着这个三角形 无论线在哪 一定过重心

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