正四棱锥何时体积最大底面面积一定 ,顶点为不定点原题是这样，有一正四棱锥，其侧面的棱长为2倍根3，其体积有最大值，问高为多少 为什么只能用求导呢 我还没学
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 08:30:17
正四棱锥何时体积最大底面面积一定 ,顶点为不定点原题是这样，有一正四棱锥，其侧面的棱长为2倍根3，其体积有最大值，问高为多少 为什么只能用求导呢 我还没学
正四棱锥何时体积最大
底面面积一定 ,顶点为不定点
原题是这样，有一正四棱锥，其侧面的棱长为2倍根3，其体积有最大值，问高为多少 为什么只能用求导呢 我还没学
正四棱锥何时体积最大底面面积一定 ,顶点为不定点原题是这样，有一正四棱锥，其侧面的棱长为2倍根3，其体积有最大值，问高为多少 为什么只能用求导呢 我还没学
是正四棱锥,不是正三棱锥,目前还未找到简单方法.
设底正方形边长为2x,正四棱锥高为SH,H为底正方形对角线交点,
则对角线为2√2x,AH=√2x,
SH=√（SA^3-AH^2)=√(12-2x^2),
S正方形ABCD=4x^2,
VS-ABCD=[4x^2√(12-2x^2)]/3,
为求出函数极值,对函数求一阶导数,令其为0,求出驻点,
V'(x)=(8x/3)√(12-2x^2)+4x^2*(1/2)(12-2x^2)^(-1/2)(-4x)/3
=(8x/3)√(12-2x^2)-8x^3/√(12-2x^2)
=0,
x=±2,舍去负值,x=2,
当x
把正四棱锥S-ABC补成如图的平行六面体K.V（S-ABC）＝（1/6）×V（K） K是12个棱长都是2√3的平行六面体.它的最大体积＝（2√3）³＝24√3。 [这道理，楼主能说清楚吧？试试！]。此时K是立方体。 V（S-ABC）＝4√3.它的高＝SE/3＝√[3（2√3）²]/3＝2. [楼主注意了，这道题如果“死做”，可说超级麻烦，而且要用导数求极值。而 换个角度一想，就超级简单了。 O.K ?]
V=1/3*S*h
S一定，h越大，V越大~~~
问题补充了，答案我也补充下，不是很难
设高h，易得底面边长√2*√（12-h^2）
底面积S=2（12-h^2）
体积V=1/3Sh=2/3（12-h^2）h=2/3*(-h^3+12h)
对V求导V'=2/3(-3h^2+12)=0得h=2
所以当h=2时体积最大为32/3