点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,角PAB=a,问a为何值时四边形ABPT面积最大?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/16 05:22:13
点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,角PAB=a,问a为何值时四边形ABPT面积最大?
点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,角PAB=a,问a为何值时四边形ABPT面积最大?
点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,角PAB=a,问a为何值时四边形ABPT面积最大?
连结AP,AB为直径,则∠APB=90°
设圆心为O,连结OP,则OA=OP,所以∠PAO=∠APO=a
PT是圆的切线,则OP⊥PT,所以∠APT=90°-a
AB=1,PT=1
所以,AP=ABcosa=1*cosa=cosa
S△ABP=1/2*AB*APsina=sinacosa/2=sin2a/4
S△APT=1/2*PA*PTsin(90°-a)=cos²a/2=2cos²a/4=(cos2a+1)/4
所以
S四边形ABPT
=S△ABP+S△APT
=sin2a/4+(cos2a+1)/4
=(sin2a+cos2a+1)/4
=[√2*sin(2a+45°)+1]/4
≤(1+√2)/4
当且仅当sin(2a+45°)=1,2a+45°=90°,a=22.5°时取等号
所以,当a=22.5°,四边形ABPT面积最大,最大值为(1+√2)/4
连接TB 设半圆的圆心为O 连接OP
四边形ABPT面积=S△PAB+S△PTB
因为PT是半圆的切线 那么OP⊥PT
PT=1 OP为半圆的半径是定值
那么△PTB为定值=1/2*1*r
要使四边形ABPT面积最大 即△PAB的面积为最大
△PAB的面积=1/2*AB*h
AB是定值 那么有h最大时△PAB的面积为最大
全部展开
连接TB 设半圆的圆心为O 连接OP
四边形ABPT面积=S△PAB+S△PTB
因为PT是半圆的切线 那么OP⊥PT
PT=1 OP为半圆的半径是定值
那么△PTB为定值=1/2*1*r
要使四边形ABPT面积最大 即△PAB的面积为最大
△PAB的面积=1/2*AB*h
AB是定值 那么有h最大时△PAB的面积为最大
即点P到AB的距离最大
所以当OP⊥AB时 OP有最大值 即半圆的半径
那么就有PAB=a=45°
收起
楼上的,都错了
S 四边形ABPT = S △APT + S △APB
=1/2*cosa*1*sin(pi/2-a)+1/2*cosa*sina
=(1+cos2a+sin2a)/4
=(根号2sin(2a+pi/4)+1)/4
2a+pi/4=pi/2时取最大值
a=pi/8
45度