极大线性无关组有什么特点
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 01:44:16
极大线性无关组有什么特点
极大线性无关组有什么特点
极大线性无关组有什么特点
基本定义
定义
设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组.如果
(1) α1,α2,...αr 线性无关;
(2)从S中任意添加一个向量（如果还有的话）,所得的部分向量组都线性相关,
那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组.
注解
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身.
（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一.但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.
编辑本段
基本性质
性质 1
任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.
性质 2
一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.
性质 3
若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出,则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者.
编辑本段
相关定理
定理 1
设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组,如果
（1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出,
（2）r>s,
那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关.
推论 1
如果向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出,且a1,a2,…,ar线性无关,那么r≤s.
推论 2
任意n+1个n维向量必线性相关.
推论 3
两个线性无关的等价向量组,必含有相同个数的向量.
定理 2
一向量组的极大线性无关组都含有向量的个数相同.
定理 3
一向量组线性无关的充分必要条件是,它的秩与它所含向量的个数相同.
推论 4
等价的向量组必有相同的秩.
http://baike.baidu.com/view/689637.htm
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