已知两个正项等比数列an和bn,数列Inan和Inbn的前n项和为An和Bn,An/Bn=7n+45/n+3,使得Inan/Inbn为整数的正使得Inan/Inbn为整数的正整数n的个数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 03:41:42
已知两个正项等比数列an和bn,数列Inan和Inbn的前n项和为An和Bn,An/Bn=7n+45/n+3,使得Inan/Inbn为整数的正使得Inan/Inbn为整数的正整数n的个数
已知两个正项等比数列an和bn,数列Inan和Inbn的前n项和为An和Bn,An/Bn=7n+45/n+3,使得Inan/Inbn为整数的正
使得Inan/Inbn为整数的正整数n的个数
已知两个正项等比数列an和bn,数列Inan和Inbn的前n项和为An和Bn,An/Bn=7n+45/n+3,使得Inan/Inbn为整数的正使得Inan/Inbn为整数的正整数n的个数
an,bn为等比数列,那么 lnan和lnbn必为等差数列,
设
an=c1+(n-1)d1
bn=c2+(n-1)d2
那就有
An=nc1+n(n-1)d1/2
Bn=nc2+n(n-1)d2/2
An/Bn=(2c1+(n-1)d1)/(2c2+(n-1)d2)=(7n+45)/(n+3)
对任意n都是成立的,这样后式不能再约分了,说明后式是前式除以某个常数得到的,设这个常数为k,就有：
(2c1+(n-1)d1)/(2c2+(n-1)d2)=(7nk+45k)/(nk+33)=(7(n-1)k+52k)/((n-1)k+4k)
观察两边,建立恒等式,就有：
2c1=52k
d1=7k
d2=k
2c2=4k
所以 解得
c1=26k
d1=7k
c2=2k
d2=k
这样
lnan/lnbn
=(c1+(n-1)d1)/(c2+(n-1)d2)
=(26k+(n-1)7k)/(2k+(n-1)k)
=(7n-19)(n+1)
=7-20/(n+1)
要使这个式是整数,必有 (n+1)是20的约数,且因为 n是正整数,所以有：n+1>=2
那 20的约数就有 2,4,5,10,20
与之对应的n是 1,3,4,9 ,19
共5个值.