几个高数题目.2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 05:03:04
几个高数题目.2
几个高数题目.
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几个高数题目.2
1、原式=lim[x→∞][1-2/(1+x)]^x,
令u=-2/(1+x),x=-(1+2/u),
当x→∞,u→0,
原式=lim[u→0] (1+u)^(-1-2/u)
=lim[u→0]{1/[(1+u)*(1+u)^2/u]
=1/[(1+0)(e^2)]
=1/e^2.
2、本来x=3是函数的间断点,属第二类间断点,是可去间断点,补充在x=3处的定义,使之等于当x→3的极限值,则函数变成连续,
f(x)=[√(x+1)-2]/(x-3),
limf(x)[x→3]=lim[x→3][√(x+1)-2)[√(x+1)+2]/(x-3)(√(x+1)+2]
=lim[x→3][x+1-4)/[(x-3)(√（x+1)+2]
=lim[x→3][1/[√（x+1)+2]
=1/4,
∴补充定义,f(3)=1/4,
∴要使函数在x=3处连续,则必须f(3)=1/4.
二、1、对数真数必须大于0,且分母不能是0.∴x∈（0,+∞）,应选C.
2、根据罗彼塔法则,原式=（-1）/1=-1,应选A.
3、lim[x→0][x*sin(2/x)+(2/x)sinx]
前一项sin(2/x)是有界函数,|sin(2/x)≤1,∴lim[x→0][xsin(2/x)]=0,
lim[x→0](2/x)sinx=2*lim[x→0][(sinx)/x]=2,
∴其和为2,应选B.
4、设原函数为F（x),∵[-1/2f(1-2sinx)+C]'=(-1/2)f'(1-2sinx)*(-2cosx)
=cosx*f'(1-2sinx),是其被积函数,
∴应选D.
第三张太模糊,看不清楚.
三、6、y"+y'-6y=0,
特征方程为：r^2+r-6=0,
r1=2,r2=-3,
通解为：y=C1e^(2x)+C2e^(-3x).
初始条件看不清,无法求特解.
四、1、S=∫[0,π/6]（cosx-sinx)dx
=(sinx+cosx)[0,π/6）
=1/2+√3/2.
V=π∫[0,π/6][（cosx)^2-(sinx)^2]dx
=π∫[0,π/6]cos(2x)dx
=（π/2）sin2x[0,π/6]
=√3π/4.
2、设y=(1+1/x)^x,
两边取自然对数,
lny=xln(1+1/x),
根据隐函数求导法则,
y'/y=ln(1+1/x)+[1/(1+1/x)]*(-1/x^2)*x
y'/y=ln(1+1/x)-1/(x+1),
∵x>0,
∴（1+1/x)^x>0,
对于函数lnx,在（x,x+1)区间内,根据拉格朗日中值定理,
总有一点ξ,使得ln(x+1)-lnx=lnx|(x=ξ)(x+1-x)=1/ξ,
∵ξ∈（x,x+1),
0
∴ln(x+1)-lnx>1/(x+1),
∴ln[(x+1)/x]>1/(1+x),
∴ln(1+1/x)-1/(x+1)>0
∴y'/y>0,
∵y>0,
∴y'>0,
∴当x>0时,函数单调增加.
选择题
1C
2A
3B
4D