超难的立体几何题若干个棱长为2,3,5的长方体,依相同方向拼成长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是多少?本题可以简化为拼成棱长为30的正方体，但拼凑过程很难想

超难的立体几何题若干个棱长为2,3,5的长方体,依相同方向拼成长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是多少?本题可以简化为拼成棱长为30的正方体，但拼凑过程很难想
超难的立体几何题
若干个棱长为2,3,5的长方体,依相同方向拼成长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是多少?
本题可以简化为拼成棱长为30的正方体，但拼凑过程很难想像出来

超难的立体几何题若干个棱长为2,3,5的长方体,依相同方向拼成长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是多少?本题可以简化为拼成棱长为30的正方体，但拼凑过程很难想
利用映射及容斥原理可以计算
a.面对角线贯穿的小长方体的个数：AuB=A+B-AnB
贯穿过棱长2,3面：(6/2+6/3-6/2*3)*(90/6)=90
贯穿过棱长2,5面：(10/2+10/5-10/2*5)*(90/10)=54
贯穿过棱长3,5面：(15/3+15/5-15/3*5)*(90/15)=42
b.体对角线贯穿的小长方体个数： AuBuC=A+B+C-AnB-BnC-AnC+AnBnC
[30/2+30/3+30/5-30/(2*3)-30/(2*5)-30/(3*5)+30/(2*3*5)]*(90/30)=66

想到一法，我们假设小长方体是按照横2高3，纵5的方向排列，我们只要弄明白一件事：对角线是怎么贯穿的？其实就是当我们把整个大正方体切割成2*2的小正方体时，可以发现，这对角线正好有秩序的贯穿了90/2=45个按对角线延伸的小正方体的对角线，下面我们只要分析这45个小正方体分别属于多少个小长方体即可。
这个你最好画个图看看，我们先从高度的提升来分析：从最下面的一个角出发，因为高是3（3/2=1...

全部展开

想到一法，我们假设小长方体是按照横2高3，纵5的方向排列，我们只要弄明白一件事：对角线是怎么贯穿的？其实就是当我们把整个大正方体切割成2*2的小正方体时，可以发现，这对角线正好有秩序的贯穿了90/2=45个按对角线延伸的小正方体的对角线，下面我们只要分析这45个小正方体分别属于多少个小长方体即可。
这个你最好画个图看看，我们先从高度的提升来分析：从最下面的一个角出发，因为高是3（3/2=1……1），所以第1个小正方体是完全位于小长方体内的，这说明此时对角线在贯穿第1个小正方体的同时，贯穿了1个小长方体；此时小长方体的高只剩下1，而第2个小正方体的高是2，所以，不够，此时在贯穿第2个小正方体的同时，肯定要同时贯穿2个小长方体；类似的，在贯穿第3个小正方体的同时，恰好贯穿了1个小长方体，此时高度达到了6……从这里，我们发现：在高度上，贯穿3个小正方体就同时贯穿4个小长方体，这是对等的
我们还要从纵向的延伸来分析：还是从最开始的角出发，因为纵度是5（5/2=2……1），所以第1、第2个小正方体是完全位于小长方体内的，这说明此时对角线在贯穿第1、第2个小正方体的同时，各自贯穿了1个小长方体；此时小长方体的纵度只剩下1，而第3个小正方体的纵度是2，所以，不够，此时在贯穿第3个小正方体的同时，肯定要同时贯穿2个小长方体；类似的，在贯穿第4、第5个小正方体的同时，还是各自贯穿了1个小长方体，此时纵度达到了10……从这里，我们发现：在纵度上，贯穿5个小正方体就同时贯穿6个小长方体，这是对等的
两者都分析过了，我们就可以一起来统合了：贯穿1个小正方体的同时，如果纵向和高度方向贯穿的小长方体数目不一致，有四种情况：（1，1）此时实际贯穿了1个；（1，2）、（2，1）此时实际都只贯穿了2个；（2，2）实际贯穿了2个
贯穿小正方体：第1个第2个第3个第4个第5个第6个第7个第8个第9个……
高度小长方体： 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ……
纵度小长方体： 1 1 2 1 1 1 1 2 1 ……
统合一下： 1 2 2 1 2 1 1 2 1 ……
写不下了，但是显然是以15为周期的：122121121121221，加起来是22个，此时只穿过了15个小正方体，所以一共贯穿了22*45/15=66个
可能有细节疏忽，方法仅供参考

收起

2，3，5最小公倍为30，所以可以考虑30边长的正方体，然后*3
标记坐标原点，第一个长方体标记为0，0，0
先分成30×30×30的小正方体，则坐标为(x,x,x）的才经过对角线。
在看这些小正方体属于哪些长方体，第一列每2个+1,(边长2）
第二列每3个＋1，第三列每5个＋1，去掉重复的行有22个
所以一共有66个长方体。
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2，3，5最小公倍为30，所以可以考虑30边长的正方体，然后*3
标记坐标原点，第一个长方体标记为0，0，0
先分成30×30×30的小正方体，则坐标为(x,x,x）的才经过对角线。
在看这些小正方体属于哪些长方体，第一列每2个+1,(边长2）
第二列每3个＋1，第三列每5个＋1，去掉重复的行有22个
所以一共有66个长方体。
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14 9 5 x
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收起

66个

棱长为30的正方体

利用映射及容斥原理有

参考http://wenwen.soso.com/z/q146193454.htm