过椭圆x^2/6+y^2/2=1短轴上的顶点作椭圆的弦,其最长弦的长度是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 07:36:09
过椭圆x^2/6+y^2/2=1短轴上的顶点作椭圆的弦,其最长弦的长度是多少?
过椭圆x^2/6+y^2/2=1短轴上的顶点作椭圆的弦,其最长弦的长度是多少?
过椭圆x^2/6+y^2/2=1短轴上的顶点作椭圆的弦,其最长弦的长度是多少?
假设顶点是(0,√2)
则就是在椭圆上找一点P(a,b),他和顶点距离最大
P在椭圆上
a^2/6+b^2/2=1
a^2=6(1-b^2/2)
因为短轴的两个顶点是(0,√2),(0,-√2)
所以-√2<=b<=√2
P和顶点距离的平方=(a-0)^2+(b-√2)^2=6(1-b^2/2)+(b-√2)^2
=6-3b^2+b^2-2√2b+2
=-2b^2-2√2b+8
=-2(b+√2/2)^2+9
-√2<=b<=√2
所以b=-√2/2时,P和顶点距离的平方的最大值=9
所以距离最大=3
即最长弦的长度是3
过椭圆x^2/6+y^2/2=1短轴上的顶点作椭圆的弦，其最长弦的长度是多少？
令x=0得y= ±Sqrt[2],
令y=0得x=±Sqrt[6].
所以y为短轴.
设弦为y=kx+Sqrt[2].
解弦与椭圆的另一个交点.
y = (Sqrt[2] - 3 Sqrt[2] k^2)/( 1 + 3 k^2),
x = -(6 Sqrt[2]...
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过椭圆x^2/6+y^2/2=1短轴上的顶点作椭圆的弦，其最长弦的长度是多少？
令x=0得y= ±Sqrt[2],
令y=0得x=±Sqrt[6].
所以y为短轴.
设弦为y=kx+Sqrt[2].
解弦与椭圆的另一个交点.
y = (Sqrt[2] - 3 Sqrt[2] k^2)/( 1 + 3 k^2),
x = -(6 Sqrt[2] k)/(1 + 3 k^2)
由距离公式得到弦长:
L = 6 Sqrt[2] Sqrt[(k^2 + k^4)/(1 + 3 k^2)^2]
求(k^2 + k^4)/(1 + 3 k^2)^2的最大值.
(k^2 + k^4)/(1 + 3 k^2)^2对k的一阶导数为
-(2 k (-1 + k^2))/(1 + 3 k^2)^3,
令-(2 k (-1 + k^2))/(1 + 3 k^2)^3=0,得
k=0,或k=1,
其中k等于0时,弦最短,
k=±1时,弦最长.
令k=±1,得
L = 3
收起
由x^2/6+y^2/2=1可得短轴的顶点坐标为
(0,√2),(0,-√2).
以短轴的顶点做圆，半径为所求最长弦的长度，得
x^2+(y -√2)^2=r^2
x^2+(y +√2)^2=r^2
得(y -√2)^2=(y +√2)^2
y=0,把y带入x^2/6+y^2/2=1
得x=√6
所以r^2=(√6)^2+(0+√2)^2=8
r=2√2