有关线性代数.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 13:16:07
有关线性代数.有关线性代数. 有关线性代数.(1)首先|-E-A|=|E+A|=0,所以-1是A的一个特征值；类似|2E-A|=0,所以2也是A的一个特征值；其次AB+2B=0,则有AB=-
有关线性代数.
有关线性代数.
有关线性代数.
(1) 首先|-E-A|=|E+A|=0,所以-1是A的一个特征值；
类似|2E-A|=0,所以2也是A的一个特征值；
其次 AB+2B=0,则有AB=-2B.根据题设,矩阵B的秩为2,因此其矩阵B的列向量组的秩为2,即其极大线性无关组有两个向量,不妨设B的列向量组的极大线性无关组为eta1,eta2,那么有
A*eta1=-2*eta1,A*eta2=-2*eta2,且eta1与eta2线性无关,因此-2至少是A的2重特征值.但是因为A是4阶方阵并且已经有了-1和2 两个特征值,所以-2恰好是A的2重特征值,故A的所有特征值为-1,2,-2(2重).
(2) 由(1)的推导可知eta1与eta2恰好是从属于特征值-2的特征向量,且线性无关.而分别从属于特征值-1的特征向量xi1,从属于特征值2的特征向量xi2,与从属于特征值-2的特征向量eta1和eta2线性无关,所以A有4个线性无关的特征向量,必然可以相似对角化.
令矩阵P=(xi1,xi2,eta1,eta2),则有
P^(-1)*A*P=diag(-1,2,-2,-2).
(3)由(2)可知A=P*diag(-1,2,-2,-2)*P^(-1),因此
|A+3E|=|P*diag(-1,2,-2,-2)*P^(-1)+3E|=|P*diag(-1,2,-2,-2)*P^(-1)+3P*E*P^(-1)|
=|P| * |diag(-1,2,-2,-2)+3E| * |P^(-1)|
=|diag(2,5,1,1)|=10