椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P,Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点,求9a^2+4b^2的最小值

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P,Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点,求9a^2+4b^2的最小值
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P,Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点,求9a^2+4b^2的最小值

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P,Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点,求9a^2+4b^2的最小值
{x^2/a^2+y^2/b^2=1
{x+y=1
消去y得：
x²/a²+(1-x)²/b²=1
整理:
(a²+b²)x²-2a²x+a²-a²b²=0
Δ=4a⁴-4(a²+b²)(a²-a²b²)>0
a²-(a²+b³)(1-b²)>0
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
则x1+x2=2a²/(a²+b²)
x1x2=(a²-a²b²)/(a²+b²)
∵OP⊥OQ
∴OP●OQ=0
∴x1x2+y1y2=0
即x1x2+(1-x1)(1-x2)=0
整理得：
2x1x2-(x1+x2)+`1=0
∴2(a²-a²b²)/(a²+b²)-2a²/(a²+b²)+1=0
∴a²+b²=2a²b²
∴(1/a²+1/b²)/2=1
9a^2+4b^2
=(9a²+4b²)(1/a²+1/b²)/2
=[9+4+9a²/b²+4b²/a²]/2
=13/2+(9a²/b²+4b²/a²)/2
≥13/2+√[9a²/b²*4b²/a²]
=13/2+6=25/2
即9a^2+4b^2最小值为25/2