找出所有可微函数 f :[a; b] -->R ,其中f具有如下性质：∫f(x)dx= {[(c)+(d)]/2}*(d-c) (积分上下限分别为d,c)a
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 22:18:07
找出所有可微函数 f :[a; b] -->R ,其中f具有如下性质：∫f(x)dx= {[(c)+(d)]/2}*(d-c) (积分上下限分别为d,c)a
找出所有可微函数 f :[a; b] -->R ,其中f具有如下性质：
∫f(x)dx= {[(c)+(d)]/2}*(d-c) (积分上下限分别为d,c)
a
找出所有可微函数 f :[a; b] -->R ,其中f具有如下性质：∫f(x)dx= {[(c)+(d)]/2}*(d-c) (积分上下限分别为d,c)a
定理:f为(a,b)的凸函数,则其左右导数f'{-},f'{+}
存在,且
1.f'{-},f'{+}递减.
2.f'{-}(c)≥f'{+}(c)
3.c,d∈(a,b),则
f'{+}(c)≥[f(d)-f(c)]/[d-c]≥f'{-}(d)
1.
由于f'{-},f'{+}递减.
只需研究
In=(d-c)/n∑{0≤k≤n-1}f'{+}(c+k(d-c)/n)和
Jn=(d-c)/n∑{0≤k≤n-1}f'{-}(c+k(d-c)/n)的极限.
2.In≤Jn.(定理的2.)
3.由定理的3.得
In≥[(d-c)/n]*
∑{0≤k≤n-1}[f(c+(k+1)(d-c)/n)-f(c+k(d-c)/n)]/[(d-c)/n]=
=f(d)-f(c)
4.由定理的3.得
Jn≤[(d-c)/n]f'{-}(c)+[(d-c)/n]*
∑{1≤k≤n-1}[f(c+k(d-c)/n)-f(c+(k-1)(d-c)/n)]/[(d-c)/n]=
=[(d-c)/n]f'{-}(c)+f(d-(d-c)/n)-f(c)
5.由f的连续性得,
Lim{n→∞}{[(d-c)/n]f'{-}(c)+f(d-(d-c)/n)-f(c)}=
=f(d)-f(c)
所以
Lim{n→∞}In=Lim{n→∞}Jn=f(d)-f(c)
==>f'{-},f'{+}黎曼可积,且
∫{c→d}f'{-}(x)dx=∫{c→d}f'{+}(x)dx=f(d)-f(c).