求证:三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/21 04:24:15
求证:三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点
求证:三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点
求证:三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点
证明:设三个平面为α,β,γ,
且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a;∵α∩β=c,α∩γ=b,∴c⊂α,b⊂α;
∴c与b交于一点,或互相平行.
(1)如图①,若c与b交于一点,可设c∩b=P.
由P∈c,且c⊂β,有P∈β;又由P∈b,b⊂γ,有P∈γ;∴P∈β∩γ=a;
所以,直线a,b,c交于一点(即P点).
图①; 图②
(2)如图②,若c∥b,则由b⊂γ,且c⊄γ,∴c∥γ;又由c⊂β,
且β∩γ=a,∴c∥a;所以a,b,c互相平行.
"两平面的交线"代表"这一条线同时属於两个平面".
"两直线的交点"代表"这一颗点同时属於两条直线".
令:
[交线AB]代表平面A与平面B的交线.
[交线AC]代表平面A与平面C的交线.
[交线BC]代表平面B与平面C的交线.
"这一颗点同时属於[交线AB]与[交线AC]"
=>"这一颗点同时属於[平面A与平面B]与[平面A与平面C]"
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"两平面的交线"代表"这一条线同时属於两个平面".
"两直线的交点"代表"这一颗点同时属於两条直线".
令:
[交线AB]代表平面A与平面B的交线.
[交线AC]代表平面A与平面C的交线.
[交线BC]代表平面B与平面C的交线.
"这一颗点同时属於[交线AB]与[交线AC]"
=>"这一颗点同时属於[平面A与平面B]与[平面A与平面C]"
=>"这一颗点属於[平面B与平面C]"
=>"这一颗点属於[交线BC]"
故第三条交线,也就是[交线BC]必经过这一点.
证毕.
收起
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