求证：三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 18:23:18
求证：三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点
求证：三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点
求证：三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点
证明：设三个平面为α,β,γ,
且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a；∵α∩β=c,α∩γ=b,∴c⊂α,b⊂α；
∴c与b交于一点,或互相平行．
（1）如图①,若c与b交于一点,可设c∩b=P．
由P∈c,且c⊂β,有P∈β；又由P∈b,b⊂γ,有P∈γ；∴P∈β∩γ=a；
所以,直线a,b,c交于一点（即P点）．
图①； 图②
（2）如图②,若c∥b,则由b⊂γ,且c⊄γ,∴c∥γ；又由c⊂β,
且β∩γ=a,∴c∥a；所以a,b,c互相平行．
＂两平面的交线＂代表＂这一条线同时属於两个平面＂．
＂两直线的交点＂代表＂这一颗点同时属於两条直线＂．
令：
［交线AB］代表平面A与平面B的交线．
［交线AC］代表平面A与平面C的交线．
［交线BC］代表平面B与平面C的交线．
＂这一颗点同时属於［交线AB］与［交线AC］＂
＝＞＂这一颗点同时属於［平面A与平面B］与［平面A与平面C］＂
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＂两平面的交线＂代表＂这一条线同时属於两个平面＂．
＂两直线的交点＂代表＂这一颗点同时属於两条直线＂．
令：
［交线AB］代表平面A与平面B的交线．
［交线AC］代表平面A与平面C的交线．
［交线BC］代表平面B与平面C的交线．
＂这一颗点同时属於［交线AB］与［交线AC］＂
＝＞＂这一颗点同时属於［平面A与平面B］与［平面A与平面C］＂
＝＞＂这一颗点属於［平面B与平面C］＂
＝＞＂这一颗点属於［交线BC］＂
故第三条交线，也就是［交线BC］必经过这一点．
证毕．
收起
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