高中一道难度一般的导数大题的2、3小题
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 10:13:18
高中一道难度一般的导数大题的2、3小题
高中一道难度一般的导数大题的2、3小题
高中一道难度一般的导数大题的2、3小题
(1)
∵f'(x)=x²+2ax-b
∴f'(1)=1+2a-b
又∵函数在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行
∴在x=1处的切线的斜率等于1
∴f'(1)=1
∴b=2a ①
∵f(x)有极值
故方程f'(x)=x²+2ax-b=0有两个不等实根
∴Δ(根判别式)=4a²+4b>0
∴a²+b>0 ②
由①、②得:
a²+2a>0
∴a<-2或a>0
故实数a的取值范围是:(-∞,-2)∪(0,+∞)
(2)
存在,a=-8/3
∵f'(x)=x²+2ax-b
令f'(x)=0
∴x1=-a-√(a²+2a),x2=-a+√(a²+2a)
x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴f(x)极小=f(x2)=(1/3)x2³+ax2²-2ax2+1=1
∴x2=0或x2²+3ax2-6a=0
若x2=0,即-a+√(a²+2a)=0,则a=0(舍)
若x2²+3ax2-6a=0,又f'(x2)=0
∴x2²+2ax2-2a=0
∴ax2-4a=0
∵a≠0
∴x2=4
∴-a+√(a²+2a)=4
∴a=-8/3<-2
∴存在实数a=-8/3,使得函数f(x)的极小值为1
(3)
∵a=1/2,f'(x)=x²+x-1
∴f'(x+1)=x²+3x+1
∴[f'(x+1)/x]-3=[(x²+3x+1)/x]-3=(x²+1)/x=x+(1/x)
∴g(x)=x+(1/x),x∈(0,+∞)
证明:
当n=1时,左边=0,右边=0,原式成立
假设当n=k时结论成立,即[x+(1/x)]^k-(x^k)-[1/(x^k)]≥(2^k)-2
当n=k+1时,
左边=[x+(1/x)]^(k+1)-[x^(k+1)]-[1/x^(k+1)] ≥ [x+(1/x)]•[(2^k)-2+(x^k)+(1/x^k)]-[x^(k+1)+1/x^(k+1)]=[x+(1/x)]•[(2^k)-2]+x^(k-1)+[1/x^(k-1)] ≥ 2^(k+1)-4+2=2^(k+1)-2
当且仅当x=1时等号成立,即当n=k+1时原式也成立
综上,当n∈N+时,g^n(x)-(x^n)-(1/x^n) ≥ (2^n)-2成立
【数学归纳法证明不等式】
∵f(x)有极值
∴f'(x)=x^2+2ax-b=0有解
f'(1)=1+2a-b=1
b=2a
(1)
x^2+2ax-b=0=x^2+2ax-2a
△=4a^2+8a≥0
a≥0或a≤-2
(2)
f(x)的极小值为1,则存在x使得
f(x)=1/3x^3+ax^2-bx+1=1
即1/3x^3+ax^2...
全部展开
∵f(x)有极值
∴f'(x)=x^2+2ax-b=0有解
f'(1)=1+2a-b=1
b=2a
(1)
x^2+2ax-b=0=x^2+2ax-2a
△=4a^2+8a≥0
a≥0或a≤-2
(2)
f(x)的极小值为1,则存在x使得
f(x)=1/3x^3+ax^2-bx+1=1
即1/3x^3+ax^2-bx=0
x^3+3ax^2-3bx=0
x(x^2+3ax-3b)=0
x=0或x^2+3ax-3b=0
f'(x)=x^2+2ax-b
f''(x)=2x+2a
x^2+2ax-2a=0,当x=1时,无解,因此f(x)不存在极
收起
敢不敢给分啊,不给分你设置150搞毛啊,有意思没!!!换小号来吠? 这么没素质? 不管你是谁 你这种垃圾我还真是见多了好吧,我垃圾,不是我要你的分,我是看不过去人家给你做完题了你不给分,因为我也经常得不到分。但是我有问题别人帮我解决了我一定会给分的,虽然我垃圾!!!原来如此 我总要把答案抄完吧? 你们这样一来一去 难怪互联网的素质越来越差 真正的助人 难道仅仅是为分吗? 如果都为分 ...
全部展开
敢不敢给分啊,不给分你设置150搞毛啊,有意思没!!!
收起